一元函数极限与连续.DOC

第一章 一元函数极限与连续 第一节 函数 教学目标： ①理解函数的概念，了解函数符号的意义及其用法，会求函数的定义域。。 ②了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性。 教学重难点: 函数的含义。 教学过程: 一 函数的定义域及表示法 1 函数的定义： 设有两个集合D与M，在它们之间存在着一个对应关系,当在D中取定一个数值时，通过在M中有且只有一个数值与之对应，称D与M间建立了一个函数的对应关系. D称为定义域，M称为值域，称为对应关系。 注：函数的两要素：定义域与对应关系。 2 函数的表示法： 列表法、图像法和解析法。 3 函数的定义域： 如果自变量取某一数值时，函数有一个确定的值和它对应，那么就称函数在处一定义。因此函数的定义域就是使函数有定义的实数的全体。 确定函数定义域的一般原则： 实际问题由实际意义确定；当函数由解析式给出时，不考虑其实际意义，函数的定义域就是使解析式有意义的一切实数。 例1 求下列函数的定义域： （1） （2） （3） 。 解： （1）显然只有在分母 即时，表达式才有意义。 因此函数的定义域为。 （2）因为根式中的不能为负，又因为这个根式是分母，不能为零。因此必须有 ，即有 ，故函数的定义域为。 （3）此题是求两个函数之和的定义域，要使函数有意义需满足：解得 即 所以所求函数的定义域是。 二 函数的几种特性 （1）函数的有界性 设函数的定义域为D，数集.如果存在数使得 对任一都成立，则称函数在上有上界，而称为函数在上的一个上界。如果存在数使得 对任一都成立，则称函数在上有下界，而称为函数在上的一个下界。如果存在正数使得 对任一都成立，则称函数在上有界，如果这样的不存在，就称函数在上无界。 例如，在内有界，，数1是它的一个上界，而-1是它的一个下界。 （2）函数的单调性 设函数的定义域为D，区间。如果对于区间上的任意两点及，当时恒有，则称函数在上是单调增加的；如果对于区间上的任意两点及，当时恒有，则称函数在上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数称为单调函数。 例如函数在上单调减少为减函数；而在上单调增加为增函数，但函数在上为非单调函数。 （3）函数的奇偶性 设函数的定义域为D关于原点对称。如果对于任意,恒成立，则称为偶函数，若对于任意，恒成立，则称为奇函数。 注：①奇偶函数的定义域是关于原点对称的。 ②奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。 （4）函数的周期性 设函数的定义域为D，如果存在一个不为零的常数使得对于任一有 恒成立，则称函数为周期函数，称为函数的一个周期。 最小正周期： 若为函数的一个周期，则， 即也是的周期，显然也是的周期，我们把函数周期中的最小正数，称为最小正周期。 三、反函数 设函数的定义域为值域为，如果在中存在一个，通过在中，有且只有一个与之对应，这样的对应称为“一一对应”，可以看出这时到的对应也满足函数对应的要求，即存在反函数。反函数的定义域为，值域为，对应关系为。 注：①原函数与反函数的图像关于直线对称。 ②单调函数一定具有反函数。 四、分段函数 若在定义域的不同区间中取值时，函数的对应关系不同，通常把这样的函数称为分段函数。 如就是一个分段函数，其定义域为 注：①分段函数是一个函数，不能把它看做几个函数。 ②分段函数的定义域是各个区间取值的并集。 课堂小结：本节主要介绍了函数的基本定义及性质，以及反函数和分段函数的定义，内容较为简单，但要熟记这部分内容。 课后作业：课后习题 第二节 初等函数 教学目标: ①掌握基本初等函数的性质及其图形。 ②理解复合函数和初等函数的定义，会正确分析复合函数的复合过程。 教学重点: ①基本初等函数及其性质。 ②复合函数的含义。 教学难点: 分析复合函数的复合过程。 教学过程 一 基本初等函数 1．幂函数：（u是常数）。 2．指数函数： 3．对数函数：。 特别地： 4．三角函数： 5．反三角函数： 二 复合函数 1．定义：设函数的定义域为，函数的定义域为，值域为。如果与的交集非空，即，则通过变量u可以确定变量y是x的函数，并称这一函数是由y=f(u)与的复合函数，记作，称变量u为中间变量。 例1 分析 与的复合结构。 解：① 可看成，则是由复合而成。 ② 则是由复合而成。 例2 分析函数的复合结构 解： 则是由复合而成。 例3 分析函数的复合结构 解： 则是由 ，， ， 复合而成 2． 函数符号的应用 ① 已知