多重碎形(multifractals).PDF

多重碎形 (multifractals) 謝南瑞 一. 碎形與維度 蓋 F 。 由 F 的 自相似性, 有效覆蓋數呈現冪 s 律 (power law), 即 n , 而 s 介於 0 與 3 之 1970年代, B. B. Mandelbrot (耶魯大 間 (設 F 為空間中之一形體, 若 F 為平面 學教授、IBM 資深研究員、 美國科學院院士) 的一部份, 則 s 介於 0 與 2 )。 數值 s 稱為 出版了兩本著作, 提出碎形 (fractals) 與其 F 的維度。 在物理學者的思考中, 此值 s 可 特徵量 — 維度 (dimension) — 的觀念, 及 名為 “分數維”, 因 s 通常為一個分數, 或以 其在 自然科學中所扮演的角色。 自此, 碎形一 適當分數表出的無理數。 值 s 也可名為 自相 詞便不斷地出現在各類文獻中, 由研究論文, 似維度, 此乃由下列考慮獲得: 至科普作品, 乃至工藝美術。 一般而言, 碎形 設 F 可分解成 F1 . . . Fm 個不重疊子 泛指一個外貌複雜的形體, 但其結構則具有 集, 每個 F 與 F 有 F = r F, 0 j j j 尺度不變性 (scaling invariance), 亦即 自相 rj 1 之關係; 而每個 Fj 又可分解成 似性 (self-similarity)。 利用電腦的快速計算 F , . . . , F 個更小子集, F 和 F 亦保 j, 1 j,m j,k j 與繪圖功能, 我們可將一個簡單的機制指令, 有 F = r F 之關係; 等等重覆地發生。 則 j,k k j 經由不斷地迭代 (iteration), 而產生一連串 s 即為方程式 rs + · · · + rs = 1 之解 s。 1 m 的分岔 (bifurcation), 最後電腦螢幕上即出 許多 “數學碎形”, 亦即數學者利用迭代 現一個複雜形體, 這是一個人工虛擬碎形。 而 函數系 (iterated function system) 所獲得 在 自然界中, 我們隨處可見的曲線與形體, 如 的碎形, 如 Cantor 集、 Sierpinski 帆、 von 海岸線的彎折, 天空雲彩繁複的表面, 湍急河 Koch 雪花 . . . 等等, 都可藉助上述思考獲得 川的大小漩渦 · · · 等等, 在在是我們無法以 其維度。 詳見參考資料 2第九章。 這些數學碎 經典幾何與微分幾何來描述與研究的碎形。 形則用來作為 自然界碎形的數學模擬, 此因