有限体的理论-Bulletin.PDF

有限體的理論 李文卿 × 第一節 有限體的結構 定理 1: k 是秩為q − 1的循環群。 所謂的有限體k是指非零元素皆具有乘 想證明這定理 , 首先觀察到底下的一般 法反元素的交換環; 它的特徵數 (character- 事實。 istic) 是滿足 預 備定 理 1:任 意 係 數 在 體F 的n次 多項 1 + 1 + + 1(n個) = 0 式f (x)在F 中至多有 n個相異零位。 的最小正整數n, 是 個質數p。 因 此 它包 證明:設α是f (x)在F 中的一零位, 即f (α) = 含Z/pZ做 子 體 而 可 視 為 佈 於Z/pZ 的 0, 則 有限維 向量空間; 故k的元素個數 |k| = d f (x) = f (x) − f (α) = (x − α)g (x), q是質數p的冪次方p , 而指數d是k視為佈 於Z/pZ向量空間的維數, 這也表示: 把k看 其中g (x)是係數落在F 的n − 1次 多項式, 成加法群時, k是d個秩為p之循環群的直和 若β是f (x)在F 中另一異於 α 的零位, 則 (direct sum)。 0 = f (β) = (β − α)g (β), 其次考慮乘法群k× = k − {0}, 它的秩 × 但β − α = 0, 故g (β) = 0。 利用數學歸納 是q − 1; 故k 中的每一元素都滿足 法, 若設g (x)在F 中至多有n − 1個相異零位 xq−1 = 1, 時, 則推出f (x)在F 中至多有n個相異零位。 x 即k 中元素的秩都是q −1的因數。 對任意q − 由預 備定理 1, 若Ω(r) = φ, 1的正因數r, 設 設y是Ω(r)的元素, 則y生成一秩為 r的循環 × 子群, 是由方程式 Ω(r) = {x ∈ k | x 的秩是 r}。 xr = 1 × 當r跑遍q −1的正因數時,k 可表為Ω(r)的不 相交聯集, 現我們欲證明 Ω(q − 1) = φ; 換 在k中所有解 合而成, 又Ω(r)正好是循環 句話說, 群 y的生成元 (generators) 所 成的集合, 1 2 數學傳播 十七卷一期 民 82 年 3 月 即 底下是能由上面論證馬上得出的一些推 論。 i Ω(r) = {y |1 ≤ i ≤ r, g.c.d.(i, r) = 1}。