关于曲线和曲面不连续点的比较.PDF

关于曲线和曲面不连续点的比较 杨海燕（2801304035 ） 【摘 要】本文通过对曲线的间断点的分类来探讨曲面上的不连续点的特征， 包括分类以及各自的特点。并通过曲面绘图给出了这些不连续点的几何特征。 【关键字】 不连续点，间断点，间断线，平面曲线，空间曲面. 1 引言 我们知道一元函数的间断点可分为两类，不同类型的间断点具有不同的几何特征。函数 间断点的分类有利于我们对函数性态的研究，但是二元函数的不连续点具有怎样的特性？本 文类比一元函数的间断点做了一些初步的讨论，并通过图形描绘了其几何特征。 2 正文 2.1 一元函数不连续点的分类 一元函数的间断点分为两类：一类是左右极限都存在的间断点，称为第一类间断点；不 是第一类间断点，都称为第二类间断点。其中，第一类间断点又可细分为第一类可去间断点 和第一类跳跃间断点，第二类间断点可分为第二类无穷间断点和第二类震荡间断点。下表将 给出它们之间的区别与联系：   可去间断点  （f (x 0 -0) f (x 0 +0) ，即lim f (x ) 存在）  第一类间断点  x x0 间  （f (x 0 -0),f (x 0 + 0) 均存在）  跳跃间断点   （f (x 0 -0)f (x 0 + 0) ） 断 点   无穷间断点  第二类间断点  （f (x 0 -0) ，或f (x0 +0)） （f (x 0 -0),f (x 0 +0) 至少有一个不存在） 震荡间断点   （lim f (x ) 不存在（ ））   xx0 下面给出四个代表性的例子：  2 x , 0 x 1  例 1 函数f (x ) 1, x 1 ， x 1 是其第一类可去间断点。  x 1, x 1  x , x 0  例 2 函数f (x )  ，x 0 是其第一类跳跃间断点。 x 1, x 0  1 例 3 函数f (x ) ，x 1 是其第二类无穷间断点。 x 1 1 例 4 函数f (x ) sin ，x 0 是其第二类震荡间断点。 x 通过以上内容我们不难发现，第一类间断点多存在于分段函数中如上述的例一、例二， 而第二类间断点则多为一些较特殊的函数如上述的例三、例四。 下面我们类比一元函数的间断点来看看二元函数不连续点的情况。 2.2 二元函数不连续点的分类 首先说明一点，在二元函数中我们将其称为不连续点而不是间断点，因为一个二元函 数所代表的已经是空间的曲面而非一元函数所代表的曲线，因此在二元函数中还有一类不连 1 续点称为间断线，例如，函数z