分数几何布朗运动环境下幂型支付期权的保险精算-重庆理工大学学报.PDF

重庆理工大学学报（社会科学）　　２０１０年第２４卷第６期 经济 ·管理 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（ＳｏｃｉａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｖｏｌ２４Ｎｏ．６２０１０ 分数几何布朗运动环境下幂型支付 期权的保险精算定价 ａ ａ ｂ 唐　奎 ，杜　燕 ，张志恒 （重庆理工大学 ａ．数学与统计学院；ｂ．会计学院，重庆　４０００５０） 摘要：假定标的资产价格服从分数几何布朗运动，在无风险利率、标的资产期望收益率和波动率为 常数的条件下，利用保险精算思想，通过公平保费原理推导出欧式看涨期权和幂型支付的欧式看 涨期权的定价公式，该公式是ＢｌａｃｋＳｃｈｏｌｅｓ公式的推广。同时利用保险精算定价方法也容易推出 无风险利率、标的资产期望收益率和波动率为时间相依函数条件下的期权定价公式。 关键词：分数几何布朗运动；幂型期权；保险精算定价 中图分类号：Ｆ８４０　　　　文献标识码：Ａ 文章编号：１６７４－８４２５（２０１０）０６－００３３－０５ ［１］ 　　著名的ＢｌａｃｋＳｃｈｏｌｅｓ公式 是金融数学的重要基石，这一定价公式的发现极大地促进了金融市场的发 展，该定价模型是建立在有效市场假说之上的，并假定资产价格服从几何Ｂｒｏｗｎ运动。近年来大量的研究 表明，资产收益率的分布并不是正态分布的，具有“尖峰厚尾”的特征，且资产价格变化也不是随机游走，而 是呈现不同程度的长期相关性和自相似性的分形分布特征。１９９４年Ｐｅｔｅｒ提出用分数布朗运动来刻画资产 价格的变化，若资产价格服从几何分数布朗运动则其收益率服从分形分布。Ｎｅｃｕｌａ研究了分数布朗运动环 ［２］ 境下的期权定价 。Ｊａｍｄｅｅ和Ｌｏｓ用几何分数布朗运动刻画资产价格的长记忆特性，并对欧式期权定价进 ［３］ ［４］ 行了研究 。Ｒｏｇｅｒｓ讨论了分数布朗运动条件下的套期保值 。分数布朗运动环境下市场不再是完备和无 ［５］ 套利的，这时等价鞅测度不存在或者不唯一存在，用传统的期权定价方法有一定的困难，Ｂｌａｄｔ和Ｒｙｄｂｅｒｇ 提出了期权定价的保险精算方法。用公平保费原则，在无任何市场假设下，证明了当股票价格服从几何 Ｂｒｏｗｎ运动时，保险精算定价与无套利定价是一致的。由于没有任何经济假设，它不仅对于无套利、均衡、完 备的市场有效，且对于有套利、非均衡、不完备的市场也有效。在国内学者中，陈俊霞等研究了标的资产股 ［６］ ［７］ 从几何分数布朗运动的期权定价 ，赵佃立等讨论了分数布朗运动环境下的幂期权定价 ，随着金融市场的 发展，新型期权不断出现，幂型支付期权就是一类新型奇异期权。幂型支付的看涨期权的到期支付函数为 ＋ α [ ( ) ] ，其中ｆ（ｘ）＝ｘ( ) ，Ｋ为执行价格，Ｔ为到期日。本文假定风险资产遵循分数布朗运动 ｆＳ（Ｔ）－Ｋ α＞０ ［８］ 驱动的随机微分方程，应用保险精算方法结合Ｗｉｃｋ积理论 给出幂型支付的欧式看涨期权的定价公式。 一、分数Ｂｌａｃｋｓｃｈｏｌｅｓ期权保险精算定价 考虑分数Ｂｌａｃｋｓｃｈｏｌｅｓ市场有两种资产，无风险资产（债券）和风险资产（股票），其价格过程Ｐ（ｔ）， Ｓ（ｔ）分别满足 ｄＰ（ｔ）＝ｒ（ｔ）Ｐ（ｔ）