分数布朗运动与Hurst指数的关系研究-山西大学管理与决策研究所.PDF

( ) ( ) 山西大学学报 自然科学版 33 3 :380～383 ,20 10 J ournal of Shanxi U niver sit y (Nat . Sci . Ed . ) 　 ( 　 ) 　文章编号 20 10 分数布朗运动与 Hur st 指数的关系研究 1 1 ,2 牛奉高 ,刘维奇 ( 1. 山西大学 数学科学学院 , 山西 太原 030006 ;2 . 山西大学 管理科学与工程研究所 ,山西 太原 030006) ( ) 摘 　要 :讨论了重标极差分析 Rescaled Range Analysi s ,简称 R/ S 方法的理论基础 ———分数布朗运动的相关性和 自相似性 , 以及分数高斯噪声序列的自相关指数 、自相似性 、长记忆性与 Hur st 指数之间的关系. 验证了分数布朗 运动当 H ≠1/ 2 时不是 Markov 过程 , 以及 Hur st 指数与其自相似指数相同等性质. 并得到了分数高斯噪声的长记 忆性与 Hur st 指数之间的关系 ,从而可以通过 Hur st 指数来判断序列是否有长记忆性. 关键词 : Hur st 指数 ;分数布朗运动 ;分数高斯噪声 ; 自相似性 中图分类号 :O2 116 　　　文献标识码 :A [ 1 ] ( ) 水文学家 Hur st 在随机游走的 1/ 2 幂律法则 即距离的平方与时间成正比 的启发下 ,提出了 Re s ( ) ( caled Ran ge A naly si s 简称 R/ S 分析方法 ,并得到了一个新的非参数统计量 后称为 Hur st 指数 ,简记为 H ) 指数 ,从而将随机过程的幂律法则推广到了一般的形式 , 即距离的 H 次幂与时间同阶. 20 世纪 40 年代 , Hur st 基于对有偏的随机游走所进行的深入研究 ,结合 R/ S 分析方法 ,发现有偏的随机游走能很好地刻画 许多自然现象. Mandelbrot 在 20 世纪 60 年代也对此进行了广泛探讨 ,1963 年将其应用到时间序列分析中. 1968 年与 V an . N e ss 对布朗运动进行推广 ,提出了 I 型和 II 型分数布朗运动的概念[2 ] . 199 1 年 Pet er s 提出 了分形市场概念 ,指出分数布朗运动可以准确的刻画金融市场波动. 2009 年 Davidson 通过模拟对 I 型和 II 型分数布朗运动的参数进行了估计 ,并就参数的无偏性做了比较和实证分析[3 ] . 事实上 ,R/ S 分析方法就是 ( ) 以分数布朗运动理论为基础 详见下文第一部分 . Hur st 指数的提出对时间序列研究有重要意义 ,而分数布 朗运动赋予了 Hur st 指数更强的解释能力. 通过计算 Hur st 指数 H 可以判断时间序列的分形特征[48 ] ,2008 年 Zunino 等还研究得出了熵指数和分形特征的关系[9 ] . 1 　相关概念 由于研究时间序列性质的角度不同 ,部分概念往往有多种定义形式 ,本文基于以下定义形式进行探讨. 1 1 　自相似