奥数第一章 实数.doc

第一章 实数 第一单元 无理数 知识、规律、方法 有理数和无理数统称实数，实数有无穷多个，既没有最大的实数，也没有最小的实数。 全体实数和数轴上的点一一对应。实数a的绝对值即在数轴上表示数a的点到原点的距离。在实施范围内，任一实数都可以开奇次方，但只有非负数才能开偶次方。 有理数都可以写成有限小数（包括整数）或循环小数的形式，都可以表示成分数 (p，q是互质的整数，p≠0)；反过来能写成(p，q是互质的整数，p≠0)形式的数都是有理数。无理数是无限不循环小数，不能表示成分数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数。 无理数的表现形式有：无限不循环小数，与相关的数，开方开不尽得到的数，一些有规律的特殊数等。如果对无理数的概念不清楚，解题方法使用不当，常会感到束手无策。 设a为有理数，b为无理数，则（1）a+b,a-b是无理数； （2）当a≠0时，ab，是无理数。 有理数和无理数统称为实数，即 有限小数 实数（小数） 有理数 循环小数 无限小数 不循环小数——无理数 典例解析、拓展 例1下列各命题中，是假命题的有（ ） 两个无理数之和是无理数 两个无理数之积是无理数 一个有理数与一个无理数之和是无理数 一个有理数与一个无理数之积是无理数 拓展：设x、y都是有理数，且满足方程(+）x+(+)y-4-=0，求x-y的值。 例2设是无理数，a、b是有理数，b≠0，试证：a+b是无理数。 拓展：试证明：是无理数。 例3设a，b，c，d是有理数，是无理数，a≠0,求等式成立的条件。 例4设a，b分别表示的整数部分与小数部分，求a2+(1+)ab的值。 拓展：求不超过的值的最大整数。 例5求证是有理数。 检测、反馈 选择题 （1）如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对应点为点C，则点C所表示的数是（ ） A、-1 B、1- C、-2 D、2- （2）已知x是实数，则的值是（ ） A、1— B、1+ C、—1 D、无法确定 （3）已知a=2-，b=-2，c=5-2，则a，b，c的大小关系是（ ） A、acb B、bac C、cab D、abc （4）实数b满足5，并且有实数a，使ab恒成立，则a的取值范围（ ） A、小于或等于5的实数 B、小于5的实数 C、小于或等于-5的实数 D、小于-5的实数 （5）化简得( ) A、 B、 C、 D、 （6）的值是（ ） A、1 B、 C、 D、 （7）已知正整数a，m，n满足，则这样的a，m，n的取值（ ） A、有一组 B、有两组C、多于一组D、多于两组 （8）代数式的最小值是（ ） A、0 B、1 C、 D、不存在 （9）设a是一个无理数，且a，b满足ab-a-b+1，则b是一个（ ） A、小于0的有理数 B、大于0的有理数 C、小于0的无理数D、大于0的无理数 （10）已知a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是（ ） A、 B、 C、 D、 2、填空题 （11）已知x、y是实数，-6y+9=0，若axy-3x=y，则a=________。 （12）一个数的平方根是和4a-6b+13，那么这个数是__________。 （13）一个自然数的算数平方根是x，则它下一个自然数的算数平方根是__________。 （14）方程=0的解是________________。 （15）若a，b为有理数，且a+b=，则的平方根是_________。 （16）计算=_________。 （17）满足的自然数a，x，y的值为_____________。 （18）设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是_____________。 （19）观察思考下列计算过程：；同样: ； 由此猜想: ________________。 （20）观察下列分母有理化运算： 利用上面的规律计算：=__________。 解答题 （21）若与互为相反数，求的值 （22）已知ABC的三边a，b，c满足等式：+b+=6a+2-7，试判断ABC的形状。 （23）已知数的小数部分是b，求 +6b-20的值 （24）已知x=，求的值 （25）计算 （26）a为实数，M=，N=4（a-1- -）