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概率论与数理统计(经管类)课堂笔记 概率论包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征及大数定律和中心极限定理。共五章，重点第一、二章，数理统计包括样本与统计量，参数估计和假设检验、回归分析。重点是参数估计。 （一）加法原则 引例一，从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。 解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。 一般地有下面的加法原则： 办一件事，有m类办法，其中： 第一类办法中有n1种方法； 第二类办法中有n2种方法； …… 第m类办法中有nm种方法； 则办这件事共有 （二）乘法原则 引例二，从北京经天津到上海，需分两步到达。 第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3 第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2 问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？ 解：从北京经天津到上海的交通方法共有： ①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。 一般地有下面的乘法原则： 办一件事，需分m个步骤进行，其中： 第一步骤的方法有n1种； 第二步骤的方法有n2种； …… 第m步骤的方法有nm种； 则办这件事共有种方法。 种方法。 （三）排列（数）：从n个不同的元素中，任取其中m个排成与顺序有关的一排的方法数叫排列数，记作 或。 排列数的计算公式为： 例如： （四）组合（数）：从n个不同的元素中任取m个组成与顺序无关的一组的方法数叫组合数，记作或。 1 组合数的计算公式为 例如： 组合数有性质 （1），（2）=45 ，（3） 例如： 例一，袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？ 解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数 次品的取法有多少种？ （种） 例二，袋中五件不同正品，三件不同次品（√√√√√×××）从中任取3件，求所取3件中有2件正品1件 解：第一步在5件正品中取2件，取法有 （种） 第二步在3件次品中取1件，取法有 （种） 由乘法原则，取法共有10×3=30（种） 第一章 随机事件与随机事件的概率 §1.1 随机事件 引例一，掷两次硬币，其可能结果有： ｛上上；上下；下上；下下｝ 则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。 引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有：｛1，2，3，4，5，6｝ 则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。 从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。 （一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。 由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。 虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。 必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。 不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。例如，掷一次骰子，点数gt;6的事件一定不出现，它是不可能事件。 （二）基本（随机）事件 随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。 2 全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。 （三）随机事件的关系 （1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作 生则必然导致B发生 显然有 B实际上是同一事件。 （四）事件的运算 （1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作： 例如，掷一次骰子，A=｛1，3，5｝；B=｛1，2，3｝则和事件A+B=｛1，2，3，5｝ 显然有性质 ① ②若，则有A+B=B ③A+A=A 或A+B ，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与 （2）事件的相等：若。 。例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝