概率论与数理统计习题答案-修订版-复旦大学_0.doc

概率论与数理统计习题答案-修订版-复旦大学 概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1．略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生； （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC （4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A?B?C (6) ABC (7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC) 1 =11113++?= 443124 23.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（B｜A∪） 【解】 P(BA?B)? ?P(AB)PA(?)PAB() ?P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.51? 0.7?0.6?0.54 111，，，求将此密码破译出53433.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为 的概率. 【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则 P(?Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3) i?13 ?1?423???0.6 534 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人 击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 P(A)??P(A|Bi)P(Bi) i?03 =(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458 . 习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】 X?3,4,5 P(X?3)? P(X?4)?1?0.1C353 ?0.3C3 5 C2 4P(X?5)?3?0.6C5 2 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图； (3) 133 P{X?P{1?X?P{1?X?P{1?X?2}. 222 【解】 X?0,1,2. 3 C1322 P(X?0)?3?. C15352C112 2C13 P(X?1)?3?. C1535 C11 P(X?2)?13?.3 C1535 （2） 当xlt;0时，F（x）=P（X≤x）=0 当0≤xlt;1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 22 35 当1≤xlt;2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数 34 35 x?0?0, ?22 ?,0?x?1?35F(x)?? ?34,1?x?2?35?1,x?2? (3) 3 1122P(X?)?F()?, 2235333434 P(1?X?)?F()?F(1)???0 223535 3312 P(1?X?)?P(X?1)?P(1?X?)? 2235 341 P(1?X?2)