圆锥曲线与方程知识点总结.doc

圆锥曲线与方程知识点总结 圆锥曲线与方程 1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程． 2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质． 的初步应用． 3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现． 4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势． 第1课时 椭圆 1．椭圆的两种定义 (1) 平面 ， 之间的距离叫做焦距． 注：①当2a＝|F1F2|时，P．②当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹不存在． (2) 椭圆的第二定义：到的距离的距离之比是常数e，且 定点F是椭圆的，定直线le?的点的轨迹叫椭圆． 常数e是 ． 2．椭圆的标准方程 (1) 焦点在x轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： y2a 圆锥曲线是高中数学的一个重要 gt; gt;0，且a2? (2) 焦点在y轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 其中a，b满足： ． ?1， 3．椭圆的几何性质(对 x2a2 ?y2b2 ?1,a gt; b gt;0进行讨论) (1) ≤ x ≤y ≤(2) 对称性：对称轴方 ；对称中心为 (3) 焦，长半轴短半轴长准线方程： ． e越接近1，e (4) 离心率：e?)，e?，； 越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 焦半径公式：设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，P(x0,y0)是椭圆上一点，则 PF1?PF2?2a?PF1． ∵ 点P（3，4）在椭圆上，∴ 9b?2?1 2aa?25 (6) 椭圆的参数． 4．焦点三角形应注意以下关系： (1) 定义：r1＋r2＝2a (2) 余弦定理：r12＋r22－2r1r2cos?＝(2c)2 (3) 面积：S?PF1F2＝r1r2 sin?＝·2c| y0 |(其中P(x0,y0)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝?) 例 1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10； （2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点(? 1 2 12 解得a2＝45或a2＝5 又a＞c，∴ a2＝5舍去. 故所求椭圆的方程为 x2y2 ??1. 4520 法二：利用△PF1F2是直角三角形，求得c＝5(以下同方法一) （2）由焦半径公式： | PF1 |＝a＋ex＝3＋| PF2 |＝a－ex＝3－ 12 535535 ×3＝4 ×3＝2 12 ∴ S?PF1F2＝| PF1 |·| PF2 |＝×4×25＝20 35 ,)； 22 x2y2 变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆2?2?1（a＞b＞0）上的任 ab 意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为 直径的圆相设以PF2为直径的圆心为A，半径为r. ∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2r ∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA，由三角形中位线定理，知 |OA|= （3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A（-3 变式训练1：根据下列条件求椭圆的标准方程 (1) 和椭圆 1x2y2 ??1共准线，且离心率为． 22420 42 5和，过P33 (2) 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 ． 例2. 点P(3, 4)是椭圆 x2a 2 11 |PF1|??2(a?r)?a?r. 22 故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。 2 例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点F，过F1与抛物线y??4x的焦点重合1的直线 ? y2b 2 ＝1 (agt;bgt;0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1⊥PF2求： l与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线l与x（1）求椭圆的方程； （2）求过点O、F左准线相切的圆的方程； 1，并且与椭圆的 CDAB ? (1) 椭圆的方程；(2) △PF1F