二自由度系统.ppt

* * Southwest Petroleum University 第四章 二自由度系统的振动 教学内容： 第一节 二自由度系统的运动微分方程 第二节 无阻尼系统的自由振动 第三节 无阻尼系统的受迫振动 Southwest Petroleum University 第一节 二自由度系统的运动微分方程 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。 Southwest Petroleum University 考虑如图4-1a所示的具有粘性阻尼的二自由度系统，系统由质量m1、m2，弹簧k1、k2、k3和阻尼器 c1、c2、c3组成。 首先推导系统的运动微分方程。系统的运动可以完全由坐标 来描述。 图4-1? 二自由度系统模型 Southwest Petroleum University 为推导系统的运动方程，对质量m1、m2绘分离体图（如图4-1b），用牛顿第二定律列分离体在水平方向的力平衡方程得 (4-1) 整理得： (4-2) 由两个联立二阶常微分方程所描述的系统称为二自由度系统。方程(3-2)可以方便地表示成矩阵形式，引入 (4-3) Southwest Petroleum University 常数矩阵 分别称为质量、阻尼和刚度矩阵。 分别称为二维位移向量和力向量。 方程(4-2)可以写成矩阵形式 Southwest Petroleum University 第二节 无阻尼系统的自由振动 当系统没有阻尼和外部激振力时，也即 c1=c2=c3=0 方程(3-2)变为 (4-4) Southwest Petroleum University 为了找出方程（4-4）的解，设想系统存在一种所谓的同步运动，即两个坐标的运动方程具有同一时间函数而仅是振幅不同。 令 可得到如下形式： 代入方程（4-4）可得如下特征矩阵方程： (4-5) Southwest Petroleum University 由系数行列式等于零得到特征方程： (4-6) 方程的两个根为： 式中?1和?2唯一地决定于振动系统的质量和弹簧刚度，称为系统的固有频率。?1为第一阶固有频率，简称为基频；?2为第二阶固有频率。 Southwest Petroleum University 系统在一般情况下的运动是两个同步运动的叠加，所以，在一般的初干扰下，系统的响应是： 式中： 分别表示在坐标x1的运动中 简谐波振幅； 分别表示在坐标x2的运动中 简谐波振幅 (4-7) Southwest Petroleum University 分别代入（4-5）可得同一频率的简谐波在x1,x2 坐标中的振幅比 成对的常数 和 与另一对常数 和 可以确定当系统分别以频率?1和?2进行同步简谐运动时呈现的形状，称为系统的固有振型(或主振型)。 Southwest Petroleum University 可以表示为下列矩阵形式的主振型： 式中 和 称为振型向量或模态向量。 为第一阶固有振型， 为第二阶固有振型。 Southwest Petroleum University 设初始条件为：t=0时， 经过运算，可以求出： 因此只要给定初始条件即可得到初激励下的系统响应 (4-8) Southwest Petroleum University 例题1：试求如图3.4所示的系统的固有频率和主振型。已知 解：振动的微分方程为 (a) 又若已知初始条件为 ，试求系统的响应。 Southwest Petroleum University 令 则 可解出： Southwest Petroleum University 因为 故 Southwest Petroleum University 根据给定的初始条件，代入（4-8）式得： 故系统的响应为： Southwest Petroleum University 例题2：已知二自由度无阻尼自由振动系统的运动微分方程： 求该系统固有频率、主振型，并画主振型图。 解：由已知得特征方程 Southwest Petroleum University 解特征方程得， 求振型， Sout