二自由度系统振动的理论.pptx

第三章 二自由度系统振动的理论; 很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。 举例：; 车床刀架系统(a)、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c），只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。;3.1 二自由度系统的基本概念; 当系统按其中任意一个固有频率自由振动时，称为主振动。主振动是简谐振动。 系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 主振型和固有频率只取决于系统本身的物理性质，与初始条件无关。主振型是一切多自由度系统以及连续系统的重要特性。 二自由度系统在任意初始条件下的响应是两个主振动的叠加，只有在特殊初始条件下，才按某一固有频率作主振动。; 系统对于简谐激振的响应是频率与激振频率相同的简谐振动。振幅同样与系统固有频率和激振频率的比值有关。当激振频率接近于系统的任一固有频率时，就发生共振。共振时的振型是与固有频率相对应的主振型。 二自由度系统的振动微分方程一般包括两个互相耦合的二阶常微分方程组，二自由度系统的运动形态要由两个独立的坐标确定。 建立振动微分方程最常用的方法有：牛顿第二定律法、动静法、拉格朗日法等。;3.2 二自由度系统振动方程;坐标原点仍取在静平衡位置;二自由度系统作用力方程的一般形式：;由此可得：;矩阵表达式中：;[M]称为系统的质量矩阵，[K]称为刚度矩阵，[C]称为阻尼矩阵，{x}为系统的位移列阵，{F(t)}为外激力列阵。 对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。 由于矩阵[M]、 [K]、 [C]的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。; 刚度矩阵[K]中的元素称为刚度影响系数，其 的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义位移，系统平衡时需在i坐标处施加的广义力。 具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。 ; 质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。 具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。 ;质量矩阵的求解 对如下图所示的系统，质量为m的刚性杆，由刚度为 的弹簧分别之于A点和D点。A点支座的约束只允许刚性杆在x-y平面内运动，而限制沿x轴方向的平动。C点为刚性杆的质心， 表示绕通过C点z轴（垂直于纸面，未标出）的转动惯量。B点是满足 的特殊点，如果在B点作用有沿y轴方向的力，系统产生平动而无转动。如果在B点作用有力矩，系统只产生转动而无平动。求出质量矩阵 。 ;图3.2 无阻尼二自由度系统; 这里的 为质量矩阵的第i行第j列元素，称为惯性影响系数（质量影响系数）。 解：将图3.2中的A点当做刚性杆运动的参考点，为了更直观些，将加速度如同位移那样画出，A点处箭头上的双斜线表示单位加速度所需要的作用力。 如图3.3a所示，当 时，由动力平衡条件得出惯性影响系数 。根据图3.3b可求出，当 时 于是可得系统的质量矩阵M为： ;3.2.2 位移方程的一般形式及其矩阵表达式 ; 以柔度矩阵表示的方程为位移方程。 对标准m-k-c振动系统，质量 和 上的静位移可以表示为 { }=[R]{F}，而系统的动位移为 ; 柔度意为弹簧受单位作用力而产生的变形。 柔度影响系数 的力学意义是：在j坐标处作用单位广义力，引起i坐标处的广义位移。由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 [R]。