人教版2016第一轮复习理科数学导数的综合应用.ppt

【加固训练】(2015·西安模拟)已知函数f(x)=alnx+bx2图像上点P(1,f(1))处的切线方程为2x-y-3=0. (1)求函数y=f(x)的解析式及单调区间. (2)若函数g(x)=f(x)+m-ln4在 上恰有两个零点,求实数m的取值范围. 【解析】(1)因为切点P(1,f(1))在直线2x-y-3=0上， 所以f(1)=-1. f′(x)= 由已知得 所以f(x)=4ln x-x2. 所以单调增区间为 减区间为 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f(x)+m-ln4=4lnx-x2+m-ln4. 令g(x)=0,得4lnx-x2+m-ln4=0?m=x2-4lnx+ln4. 记φ(x)=x2-4lnx+ln4. 则φ′(x)= 当x∈ 时，φ′(x)＜0，φ(x)是减少的； 当x∈ 时，φ′(x)≥0，φ(x)是增加的. 由题意，2＜m≤4-2ln 2. 考点三 利用导数解决不等式问题 【考情分析】利用导数解决不等式问题是近几年高考热点,常涉及不等式恒成立、证明不等式及大小比较问题. (1)不等式恒成立问题一般考查三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式及绝对值结构的不等式在某个区间A上恒成立(存在性),求参数取值范围. (2)证明不等式一般是证明与函数有关的不等式在某个范围内成立. (3)大小比较问题,一般是作差后不易变形定号的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式、三角式结构,可转化为用导数研究其单调性或最值的函数问题. 【典例3】(2014·福建高考)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图像与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1. (1)求a的值及函数f(x)的极值. (2)证明:当x0时,x2ex. (3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 【解题提示】(1)利用导数求极值.(2)构造新函数,利用导数求最值.(3)对c分c≥1,0c1分类讨论或对x0取特殊值,然后求解. 【规范解答】方法一:(1)由f(x)=ex-ax,得f′(x)=ex-a. 又f′(0)=1-a=-1,得a=2. 所以f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 令f′(x)=0,得x=ln2. 当xln2时,f′(x)0,f(x)是减少的; 当xln2时,f′(x)0,f(x)是增加的. 所以当x=ln2时,f(x)取得极小值, 且极小值为f(ln2)=eln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值. (2)令g(x)=ex-x2,则g′(x)=ex-2x. 由(1)得g′(x)=f(x)≥f(ln2)0, 故g(x)在R上单调递增,又g(0)=10, 因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x2ex. (3)①若c≥1,则ex≤cex.又由(2)知,当x0时,x2ex. 所以当x0时,x2cex. 取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. ②若0c1,令k= 1,要使不等式x2cex成立,只要exkx2成立. 而要使exkx2成立,则只要xln(kx2), 只要x2ln x+ln k成立. 令h(x)=x-2ln x-ln k,则h′(x)= 所以当x2时,h′(x)0,h(x)在(2,+∞)内是增加的. 取x0=16k16,所以h(x)在(x0,+∞)内是增加的, 又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln2)+3(k-ln k)+5k, 易知kln k,kln2,5k0,所以h(x0)0. 即存在x0= ,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 方法二:(1)同方法一. (2)同方法一. (3)对任意给定的正数c,取x0= 由(2)知,当x0时,exx2, 所以ex= 当xx0时,ex 因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 方法三:(1)同方法一. (2)同方法一. (3)首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有 x3ex. 证明如下: 令h(x)= x3-ex,则h′(x)=x2-ex. 由(2)知,当x0时,x2ex, 从而h′(x)0,h(x)在(0,+∞)上是减少的, 所以h(x)h(0)=-10,即 x3ex. 取x0= ,当xx0时,有 x2 x3ex. 因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2cex. 【规律方法】利用导数解决不等式问题的一般思路 (1)恒成立问题可以转化为最值问题求解,若不能分离参数,可以将参数看成常数直接求解. (2)证明不等式,可构造函数转化为函数的最值问题求