初中数学竞赛——比例线段初步.docx

第4讲 比例线段初步知识总结归纳平行线分线段成比例定理：如下图，如果，则，，．平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果，则平行的判定定理：如上图，如果有，那么．两个常见模型：如图，已知直线，直线分别与直线、、相交于、、点，则．典型例题比例式的计算已知，求（1）；（2）的值．已知，则的值是（）A． B． C． D．已知，求（1）；（2）．已知，那么______；若，那么______．基础训练如图，已知直线，直线、分别与、、交于、、、、、．若，，，则_______．如图，，，，则_______．如图，，且，若，求的长．证明下列各组问题，并对各组的两个图形进行比较：（1）如图，已知直线，直线分别与直线、、相交于、、点，求证：．（2）如图，已知，，求证：．如图，已知，作交于，交于，连、交于点．求证：（1）；（2）．如图，已知为的边上的中线，为线段上一点，过点作的平行线交于，交的延长线于．求证：．如图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为．证明：．如图，在梯形中，，，过对角线交点作交于，求的长．巩固提高如图，在梯形中，，，，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长．如图，在中，、为、上的点，、相交于，取的中点，连结．若，．求证：．如图，中，与交于点，为延长线上一点，交于，的延长线交于，求证：．在四边形中，、相交于．．，直线，且与、、、及的延长线分别相交于点、、、和，求证：．已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，的延长线交于．求证：．已知是平行四边形内的任意一点，过点作，分别交、于、，又过作，分别交、于、；连结，交于；连结，交于．如果，求证：平行四边形是菱形．已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对边、于、，求证：思维飞跃如图，已知梯形中，（），和相交于，，且过，和交于，，且过．求证：．如图，是的中线，过上任意一点，作，与和的延长线分别交于和，交于点，求证：．作业已知，求（1）；（2）．如下两个图中，已知，，分别证明：．已知：如图，在梯形中，，是的中点，分别连接、、、，且与交于点，与交于．（1）求证：（2）若，，求的长．在梯形中，，与交于，，且交、于、．若，求的值．如已知，，求证：．如图，已知、是、上的点，、交于点，过点作交于，，，求证：为的中点．设为的边的中点，过作一条直线，交、或其延长线于、，又过作，交的延长线于，则．凸四边形中，，，平行于交延长线于点，平行于交延长线于点，，连接、．证明：．如图，在直线的同侧有三个相邻的等边三角形、、，且、、都在直线上，设这三个三角形边长分别为、、，连结交于，连交于，求的长．如图，、、分别是中、、的中点，过任作一直线、分别交于、，求证：．