势能驻值原理.ppt

98-5 哈尔滨工业大学 土木学院 王焕定 98-5 变形体虚位移原理及其应用 哈尔滨建筑大学 结构力学 第二章变形体虚位移原理 弹性力学基本概念—预备知识 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理和势能原理的应用 虚位移原理和势能原理的应用 里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度 1）选取满足位移边界条件（A点挠度转角为零）的函数作为“基函数” 2）对于所选的挠曲线，其虚位移、虚曲率，可能位移对应的弯矩等如下所示： 虚位移原理和势能原理的应用 里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度 3）外力的总虚功为： 4）总虚变形功为： 虚位移原理和势能原理的应用 里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度 5）当v 仅取一项时，由虚功方程可得： 当v 仅取二项时，由虚功方程可得： 当v 取三项时，由虚功方程可得： 虚位移原理和势能原理的应用 里兹法例一：试求图示悬臂梁挠曲线并计算B点挠度 5）当v 仅取一项时，弯矩为： 当v 仅取二项时，弯矩为： 当v 取三项时，弯矩为： 里兹法位移精度高于内力精度 当试函数组合包含真解时， 结果为精确解，否则为近似解 虚位移原理和势能原理的应用 里兹法例二：试求图示桁架结点位移并计算各杆内力 (各杆EA相同) 设D点水平位移为u，竖向位移为v。在此位移下，体系的应变能U为： 体系的外力势能为： 体系的总势能为： 虚位移原理和势能原理的应用 根据势能原理，真实位移应使总势能最小，因此由势能对位移的偏导数为零可得 由此可解得 * * 预 备 知 识（回顾） ? 线弹性平面问题的平衡 方程 ? 小变形平面问题的几何 方程 线应变： 角应变： ? 线弹性平面问题物理方程 平面应力： 平面应变： 平面应力： 平面应变： 预 备 知 识（回顾） ? 平面问题应力边界条件 在应力边界上： ? 平面问题物理量的矩阵 表示 应力矩阵 应变矩阵 体积力矩阵 表面力矩阵 位移矩阵 已知位移矩阵 弹性矩阵 预 备 知 识（回顾） ? 平面问题物理量的矩阵 表示 取决于材料性质 各相同性、线性弹性时 ? 引入两个算子矩阵 微分算子矩阵 方向余弦矩阵 平面应力 平面应变： 预 备 知 识（回顾） 基本方程矩阵表示 ? 平衡方程 ? 几何方程 ? 物理方程 ? 边界条件 杆系问题的基本方程（作业） ? 平衡方程如何建立？ ? 几何方程如何建立？ ? 内力和变形间关系如何？ 由微段的平衡条件建立 由微段的变形条件建立 以上内容必须 通过自己动手 达到熟练掌握 变形体虚位移原理和势能原理 一、变形体虚位移时外力功计算 二、变形体虚位移原理表述和证明 三、一些名词含义的解释 四、势能驻值原理和最小势能原理 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的受力分析 10 其余类推 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的位移分析 虚位移 算子符号 能写出各点的位移吗？ 提示：连续函数台劳级数展开 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的外力功计算 8 y方向的力所做的功等于多少？ 请大家自行写出内部微元体x向外力的总虚功 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 内部微元体的外力功计算 原形 刚性位移 变形位移 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 边界微元体的外力功计算 设A点虚位移为 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 边界微元体的外力功计算 不管是否平衡均一样 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 变形体的外力总虚功计算 变形体虚位移原理和势能原理 变形体虚位移时外力功计算 矩阵表示变形体的外力总虚功 18 17 48 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的表述 受给定外力作用，变形连续体处于平 衡状态的充分必要条件为：对任意虚位移 （具有任意、独立性），外力所做的总虚 功恒等于变形体所接受的总虚变形功，也 即恒满足如下虚功方程 26 能说 出虚 位移 原理 和虚 功原 理的 表述 有何 区别 吗？ 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的必要性证明 必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。 15 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的必要性证明 必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。 15 =0 格林公式 变形体虚位移原理和势能原理 虚位移原理的表述与证明 虚位移原理的充分性证明 充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。 设变形体不平衡，每