平面几何体积的计算.ppt

* * 以三个不共面的非零向量 为邻边，作一个平行六面体，那么这个平行六面体的体积是多少呢？ §7：体积（混合积） 而 体积 的绝对值表示以 为边的六面体的体积， 的正负表示 是右手系还是左手系. 三个向量 的体积 . 其中 应理解成 如果 是右手系，则 也是右手系，所以 即，外积和内积连乘时，只能先算外积再算 内积. 坐标表示下体积的计算公式 设 因为 所以 1：两列对换，则行列式变号. 2：一列乘上一个数，行列式就乘上一个数. 3：把一列加到另一列去，行列式不变. 行列式的性质: 验证3 三个向量 共面的条件： 例1：写出四点 共面的条件 例2：求顶点为 的四面体的体积. 例3: 直线 经过点 并沿着方向 ，直线 经过点 沿着方向 ，假设 不平行 ，求它们之间的距离. 例4 用向量运算把一个向量 表示成三个不共面的向量 的线性组合 解 问题是要解一个向量方程 附注1 如果取定一个直角坐标系，设 方程 转化成一个方程组 这说明，向量分解的问题和解方程组的问题，本质上是一回事. 附注2；设是 三个任意不共面的向量，那么例4说明空间中任何一个向量 都可以唯一地分解成它们的线性组合: 所以 如果再取定一点 ,那么任意一点 就可以用向量 来确定了.从而一点 和三个不共面的向量 也可以构成一个坐标系. 点 和三个不共面的向量 也构成一个坐标 系 ，把这样的坐标系叫做平行坐标系. 也叫基本向量，相应的坐标叫做平行坐标. 在平行坐标系中,任何 一个向量也可以写成 基本向量的线性组合. 平行坐标系 平行坐标系 平行坐标系下向量的内积 在平行坐标系中向量 的内积 如果是直角坐标系： 向量的内积 在直角坐标系 中，向量的坐标就是向量和基本向量的内积，即 其中 但在平行坐标系里面，这一结论不一定成立. 为了解决这一问题，接下来我们引入平行坐标系的对偶坐标系这一概念. 对偶坐标系 给定平行坐标系 那么 令 把坐标系 叫做 的对偶坐标系. 平行坐标系 对偶坐标系 向量 向量 那么 或者 即 向量的坐标也可以表示成内积, 即 因为 即 向量和平行坐标系中的基本向量做内积得到的是对偶坐标系中的相应坐标,和对偶坐标系中的基本向量做内积得到的是平行坐标系中相应的坐标.