幻灯片 1~11.ppt

振幅b与激振力频率ω之间关系 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 无量纲振幅频率曲线 振幅频率曲线 当ω=ωn时，即激振力频率等于系统固有频率时，振幅b在理论上趋向无穷大，这种现象称为共振。 设特解为 无阻尼受迫振动微分方程 无意义 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 三、共振现象 它的幅值为 共振时受迫振动的运动规律为 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 当ω=ωn时，系统共振，受迫振动的振幅随时间无限地增大，其运动图线如图示。 t t O 实际系统由于存在阻尼，共振振幅不可能达到无限大，但共振时振幅都相当大，往往使机器产生过大的变形，甚至造成破坏，因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。 m 解:设任一瞬时刚杆摆角为φ， 建立系统运动微分方程 微分方程整理为 例18-8 图示无重刚杆AO长为l，一端铰支,另一A水平悬挂在刚度为k的弹簧上，杆中点装一质量为m的小球。若在A处加一激振力F = F0sinωt，其中激振力的频率ω = 1/2ωn，ωn为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 k A O l/2 l/2 将ω = 1/2ωn代入上式 研究受迫振动方程特解 m k A O l/2 l/2 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 解:⑴ 取电机与偏心块为研究对象 ⑵ 作用在系统上的恢复力 ⑶ 质点系动量定理的微分形式 偏心块坐标 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 例18-9 图示带有偏心块的电动机固定在一根弹性梁上。设电机质量为m1，偏心块质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求电机以角速度ω匀速旋转时系统的受迫振动规律。 设电机轴心在t 瞬时相对其平衡位置O的坐标为x O m1 m2 此微分方程为质点受迫振动,激振力项m2eω2sinωt ,即电机旋转时,偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影 O m1 m2 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 激振力力幅 m2eω2 等于离心惯性力的大小；激振力圆频率等于转子的角速度ω,这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。 ωωn时,振幅随频率增大而减小,最后趋于m2e/(m1 +m2) ωωn时,振幅从零开始,随频率增大而增大； 振幅频率曲线 ω=ωn时，振幅趋于∞； 受迫振动振幅 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 b O 测振仪弹簧悬挂点的运动规律 例18-10 图示测振仪的物块质量为m,弹簧刚度为k。测振仪置于振动物体表面,随物体而运动。设被测物体的振动规律为s = esinωt,求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 s s x O x 解:⑴ 取测振仪为研究对象 若弹簧原长为l0，δst为静伸长，设t时刻物块坐标为x，弹簧变形量为 ⑵ 位移分析 取t = 0时的平衡位置为坐标原点O, x轴如图 ⑶ 物块运动的微分方程 — 无阻尼受迫振动 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 s s x O x 物块受迫振动形式 激振力的力幅 绝对运动振幅 测振仪壳体运动振幅为e，记录纸上画出振幅为物块相对于测振仪的振幅 a=|b-e|。当ωn ω时，b≈0，有a≈e。 一般测振仪m较大，k很小，使ωn很小。 当检测频率ω不太低的振动时，物块几乎不动，记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅。 §18-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动 各力在坐标轴上投影 取重物平衡位置O为坐标原点,坐标轴铅直向下 运动微分方程 §18-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 m x O x 图示有阻尼振动系统，物块质量为m，物块上作用有线性恢复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力Fs 运动微分方程 §18-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 m x O x 有阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶线性常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成： x1 ：齐次方程的通解 小阻尼(n ωn )情形下 x2 ：齐次方程特解 将x2代入运动微分方程得 §18-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 m x O x 运动微分方程 设其形式为 ε — 受迫振动的相位落后于激 振力的相位角 将右端改写为 §18-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 对任意瞬时t，必须满足 A和?为积分常数，由初始条件确定 联立后可得 得微分方程通解 有阻尼受迫振动由两部分合成：第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。 §18-5 单自由度系统的有阻尼受迫振动 由于阻尼的存在，第一部分振动随时间增加很快衰减，这段过程称为过渡