扩散方程的数值解法及应用-热流问题的数值计算-课件-04.ppt

4.1 一维导热问题 边界条件的处理，源项的线性化，代数方程的求解方法。 4.1.1 一维导热问题的通用控制方程 （1） 4.1.2 用控制容积积分法导出通用方程的 离散形式 假定源项S在任一控制容积内中的值可以表 示温度的线性函数： （2） Sc为常数，Sp为S = f(T) 的曲线在P点的斜 率，且规定恒为负值。 对方程（1）在控制容积内作积分，得 经整理，得 (3) 令 则式（3）变为： 系数aE, aW分别代表了节点P, E之间以及W, P之 间导热阻力的倒数，反映了节点E，W处的温度对P点温度的影响程度，具有影响系数的意义。 4.1.3 界面上当量导热系数的确定方法 1.算术平均法（arithmethic mean） 设在节点P、E之间，?与x成线性关系，则?e可由?P和?E确定为： 2.调和平均（harmonic mean） 利用界面上热流连续的原理，由Fourier 定律： 又 因此 3.两种方法的比较 若 ，按算术平均法，当网格均分时， 表明P，E间的导热热阻主要由导热系数大的物体所决定，不符合传热学的基本原理。 按调和平均法： P, E间的热阻与调和平均方法的结果一致。? 调和平均法在多数场合都优于算术平均法。? 由此，系数aE, aW可以表示为： 4.导热系数发生阶跃性变化时，阶跃面的两种处理方式 把物性阶跃面作为控制容积的分界面； 把物性的阶跃面设置成一个节点的位置，计算阶跃面上的热流密度时，精度高于第一种方法。 4.1.4 一维非稳态导热方程及其离散化 一维非稳态导热的通用控制方程为： 在[t, t+?t]时间间隔内对控制体P作积分，得 常用的T随 时间变化的型线可以表示为： F为0与1之间的加权因子。将T表达式代 入（2），得： 化简整理后，得 其中 取f = 0, 1,1/2可依次得显式，隐式和C-N格式。在直角坐标系中 当网格划分均匀时，对无内热源、 常物性的 导热问题三种格式可表示为： 显式： 隐式： C-N格式： 通过Von Neumann分析法可证明，对源项不随时间而变的问题，当 时，格式（5）是绝对稳定的；当时，稳定的条件为 4.1.5 稳定的格式导致有物理意义的解 数学上认为是稳定的初值问题的格式，未必能保证在所有的时间步长下均获得具有物理意义的解。如C-N格式。 例如：一块无限大平板，初始温度T0 0，被 置于温度为0oC，对流换热系数为无限大的流 中，试在平板内取3个节点，两个在边界上，用式（5）来确定板的中点温度随时间变化的情况。 由式（5），可得