数值分析第5版第一章课件李庆扬著.ppt

第1章数值分析与科学计算引论 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差 1.2.2 误差与有效数字 1.2.3 数值运算的误差估计 1.3 误差定性分析与避免误差危害 1.3.1 算法的数值稳定性 1.3.2 病态问题与条件数 1.3.3 避免误差危害的若干原则 1.4 数值计算中算法设计的技术 以开方运算为例，它不是四则运算，因此在计算机上求 开方值就要转化为四则运算，这时就要使用迭代法 迭代法是一种按同一公式重复计算逐次逼近真值的方法， 是数值计算普遍使用的重要方法. 1.4.2 迭代法与开方求值 这种方程求根问题可以用第7章的迭代法来解决. 现在来用简 单的方法构造迭代法 假定 ，求 等价于解方程 （4.3） 当 为多元函数，如计算 时. 的近似值为 ， 则 的近似值为 于是由泰勒展开， 函数值 的误差 为 如果 于是误差限 （2.3） 而 的相对误差限为 （2.4） 已测得某场地长 的值为 ， 宽 的值 为 ， 已知 . 试求面积 的绝对误差限与相对误差限. 因 知 例4 解 由 其中 而 于是绝对误差限 相对误差限 一个工程或科学计算问题往往要运算千万次，由于每 步运算都有误差，如果每步都做误差分析是不可能的，也 不科学. 因为误差积累有正有负，绝对值有大有小，都按最坏 情况估计误差限得到的结果比实际误差大得多，这种保守 的误差估计不反映实际误差积累. 考虑到误差分布的随机性，有人用概率统计方法，将 数据和运算中的舍入误差视为适合某种分布的随机变量， 20世纪60年代以后对舍入误差分析提出了一些新方法， 较重要的有威尔金森(Wilkinson )的向后误差分析法和 穆尔(Moore)的区间分析法两种. 然后确定计算结果的误差分布，这样得到的误差估计更接近实际， 这种方法称为概率分析法. 用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播 使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的. 计算 并估计误差. 由分部积分可得计算 的递推公式 若计算出 ， 代入（3.2），可逐次求出 的值. （3.1） 例5 而要算出 就要先计算 . 并取 ， 则得 ， 计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入. 若用泰勒多项式展开部分和 用4位小数计算， 截断误差 当初值取为 时，用（3.2）递推 计算结果见表1-1的 列. 用 近似 产生的误差 就是初值误差， 它对后面计算结果是有影响的. （3.2） 计算公式为 从表中看到 出现负值， 这与一切 相矛盾. 因此，当 较大时，用 近似 显然是不正确的. （3.2） 实际上，由积分估值得 计算公式与每步计算都是正确的，计算结果错误的原因 主要就是初值 有误差 ，由此引起以后各步 计算的误差 满足关系 容易推得 这说明 有误差 ，则 就是 的 倍误差. 例如， ， 若 ， 这就说明 完全不能近似 了. 若换一种计算方案. 由（3.3）取 ， 取 则 它表明计算公式（A）是数值不稳定的. 则 （3.3） 将公式(3.2)倒过来算， 即由 算出 ，公式为 计算结果见表1-1的 列. （3.2） 反之，当用方案（A）计算时，尽管初值 相当准确， 此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的. 记 ， 则 ， 比 缩小了 倍，因此，尽管 较大，但由于误差逐步缩小，故可用 近似 . 由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠. 可以看出 与 的误差不超过 . 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过 程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则