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数学思想方法的渗透与培养 中山市教师进修学校 赵欲升 2005.10 一、数学思想方法概述 由两个数学例子谈起 （1）解方程 （2）已知一次函数的图像经过两点A（2，-3），B（0，2）求这个函数的解析式，并画出它的图像。 数学思想方法的含义 所谓数学思想方法是指：从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，他在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义。 数学思想方法的特点 1、概括性。数学思想方法是不断地从数学概念、数学命题、数学理论以及问题解决中提炼和概括的产物。数学思想方法一旦形成，便舍弃了具体的数学内容，只以形式存在，从而可以运用到一切合适的场合之中。 2、隶属性。数学知识内部蕴含着丰富的数学思想方法，数学思想方法依托于数学知识。 3、层次性。数学思想方法是抽象概括的结果，概括程度的高低决定了数学思想方法具有不同的层次。 宏观型：包括抽象概括、化归、数形结合、归纳猜想等。 逻辑型：包括分类、完全归纳法、反证法、演绎法、特殊化法等。 技巧型：包括换元、配方、待定系数法等。 4、迁移性：数学思想方法是抽象、概括的结果，具有广泛的迁移性。既可以体现在数学的内部，又可以迁移到数学以外的其它学科。 二、几种重要数学思想方法的教学 （一）化归思想方法 所谓划归思想方法就是：通过数学内部的联系和矛盾运动，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法。 转化 目 标 解答 化归方法的三个要素： 1、化归对象； 2、化归目标； 3、化归途径。 举例： 解方程： 化归的原则 1、简单化原则： 将原问题从形式及解决问题的方式上进行化简，然后利用简化了的问题求出原问题的解。 例：设 求 的最大值 2、具体化原则：将一个抽象的原问题，转化成一个具体的形象的易解问题，使原问题中的各种数量关系变得更具体明确，更容易把握它们内在联系，进而解决原问题。 3、标准化原则： 将原问题在形式上向该类问题的标准形式转化，借助标准形式特有的性质及解法，求出原问题的解。这里所说的标准形式，是指已经建立起来的数学模型。例1 4、低层次原则： 将原问题从高维问题向低维问题转化。即将原问题由高次向低次转化，由多元向低元转化，由立体向平面转化。 如： 5、和谐统一性原则：将原问题在表现形式及量形关系上进行转化，使其变得更和谐统一。 一章结束后，可设计一节数学方法训练课，巩固、强化划归思想方法，使学生明确： 1、划归方法包括化归对象、化归目标和化归的方法三个要素。明确化归目标——寻找与目标的差异——消除差异。 2、新问题总可以通过一定方法转化为旧知识，从而得以解决，并由此生长出新知识。 3、化归目标具有相对性和层次性，应根据具体问题的要求确定。 （二）抽象概括思想方法 抽象概括思想方法的渗透 孕育点： 有理数的运算、合并同类项、二元一次方程组的解法、因式分解、最简根式、根式的加减法；线段、射线、直线、多边形的内角和、对称、全等、镶嵌等等。 抽象概括方法的初步形成 案例：函数概念 通过对抽象概括方法的多次孕育和渗透，使学生认识到：所谓抽象是指透过事物的表面现象，把事物的本质抽取出来的一种过程和方法；所谓概括是由对若干个别事物的某种属性的认识，推广到具有同样属性的一类事物的共同属性的方法。 抽象概括思想方法的训练课 抽象概括方法的应用 经过前期的孕育和渗透，抽象概括方法已在学生头脑中初步形成，在教学中教师要结合教学内容，挖掘教材，使学生在方法的应用层面得以提升。 如一次函数概念的形成、分式方程的解法等，都应创造条件，让学生们自主概括抽象，来形成概念和一般解法。 数形结合思想方法 数形结合就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。 数无形时少直觉， 形少数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休。