数学物理方程的分类.ppt

* 数学物理方程的分类 (一) 线性二阶偏微分方程 把所有自变数（空间和时间坐标）依次记作：x1,x2,…xn 二阶偏微分方程可以写为： 其中aij,bi,c,f只是x1,x2,…xn的函数，叫做线性方程。 若 则方程称为齐次的，否则为非齐次的。 一般的有源（外力，热源，电荷）的方程为非齐次的，无源 的方程为齐次的，但也不是绝对的, 如扩散方程。 叠加原理 如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解 看成几个部分的线性叠加，只要这些部分各自所满足的泛定 方程和定解条件的相应的线性叠加正好是原来的泛定方程和 定解条件就行。此原理称为叠加原理。 （二）两个自变数的方程分类 先来看两个自变数x和y的二阶线性偏微分方程 其中上述系数都只是x和y的函数，在以下讨论假定它们是实数。 作自变量的代换如下： 即 （1） （2） 通过代换，u(x,y)成为 的函数，同时把方程改 为新变量的方程，为此计算： （4） （3） 把上两个式子代入偏微分方程(1)，可得到新自变量 的新的方程如下： 其中系数 并且代换后，方程（5）仍然是线性的. （5） （6） 从（6）可以看出，如果取 以下方程的一个特解作新自变数 （7） 则有 从而A11＝0 同理，取另一个特解作新自变数 从而A22＝0 此时方程（5）得到简化！ 而方程（7）的求解可以化成常微分方程的求解！ 可以写成： （7） （8） 如果把z(x,y)＝常数, 当做定义隐函数y(x)的方程，则 则（8）变为： （9） 常微分方程（9）叫做二阶线性偏微分方程（1）的特征方程 特征方程的一般积分 和 叫做特征线 特征方程可以化成两个方程： 通常根据根式下的符号划分偏微分方程的类型！ 双曲型 抛物型 椭圆型 （10） （10） 方程（1）的系数可以是x和y的函数，所以一个方程在自变数 的某个区域属于某一类型，在另一个区域上可能属于另一个类型 可以验证： 也就是说，作变量代换时，方程类型不变！ （1）双曲型方程 方程（10）给出一族实特征线 取 作为新的自变数 则 A11＝0 A22＝0 代换后方程变为： （11） 如果再作变量代换： 方程（11）化成： （12） 方程（11）或（12）是双曲型方程的标准形式，一维波动方程 如弦振动方程，杆纵振动方程，电报方程都是标准形式的双曲型 方程。 （2）抛物型方程 （10） 由于 则特征方程（10）变为： 只能给出一族特征线 则 是方程 的解，取 为新自变数 把 代入（6） 得方程前三个系数为： 此时只要取 使得 即不满足 特征方程，则 则代换后的方程为： 这是抛物型方程的标准形式，一维输运问题，如扩散方程， 热传导方程都是标准形式的抛物型方程。 (13) （3）椭圆型方程 （10） 此时各给出一族复数的特征线： 且 取 作新的自变数，则A11＝0，A22＝0，则： 代换后的方程称为： 跟双曲型的方程不同！这里 是复变数。 为此作代换： (14) 则方程（14）化为： （15） 方程（14）或（15）是椭圆型方程的标准形式，平面稳定场方程 如稳定浓度分布，稳定温度分布，静电场方程，无旋稳恒电流场 方程和无旋稳恒流动方程，在二维时都是标准形式的椭圆型方程。 (四) 常系数线性方程 如果线性方程的系数都是常数，则化成标准形式后还可以简化： 例（传输线方程）： 作函数变换 （16） 其中 为待定常数 则有： 代入方程（16）约去公因子 得： 若选择 即： 则： *