数学物理方程111(xmsunn2013).ppt

数学物理方程与特殊函数 （东南大学数学系 王元明编） 第一章：一些典型方程和定解条件的推导 1.1 基本方程的建立 1.2 初值条件与边界条件 1.3 定解问题的提出 参考书目 课程内容 问题提出： 考察一根均匀柔软的长为L的细弦，平衡时沿ox轴绷紧，除受不随时间而变的张力作用与弦本身的重力外，不受外力影响。给定弦的一个初始位移和初始速度，弦作横向振动，确定弦上各点的运动规律。 波动方程 　— 声波、电磁波、杆的振动； 热传导方程 — 物质扩散时的浓度变化规律, 长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程; Laplace方程 — 稳定的浓度分布, 静电场的 电位, 流体的势. 1.2 初值条件与边界条件 ? 描述某系统或某过程初始状况的条件称为初值条件。 描述边界上的约束情况的条件称为边界条件。 热传导方程 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非 系统中个别点的初始状态。 泊松方程与laplace方程不提初值条件 1.2 初值条件与边界条件 1.2 初值条件与边界条件 1.3 定解问题的提法 1.3 定解问题的提法 1.3 定解问题的提法 1.3 定解问题的提法 1.2 初值条件与边界条件 初始位移、初始速度分别为 ,称 波动方程的初值条件. 弦振动问题 称为热传导方程的初值条件. 1.2 初值条件与边界条件 一、初值问题 1.2 初值条件与边界条件 例.长为 l 两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起 h ( ) ( ) x u 0 l h 正确写法 1.2 初值条件与边界条件 二、边界条件 弦振动问题 （1）固定端，边界条件为 或 （2）自由端，边界条件为 即 （3）弹性支承端，边界条件为 或 （2）物体与周围介质处于绝热状态，则边界条件为 热传导问题 （1）边界上的温度为 则边界条件为 ， （3）物体内部与周围介质通过边界有热量交换， 则边界条件为 即 （I）第一类边界条件 * （II）第二类边界条件 （III）第三类边界条件 1.2 初始条件与边界条件 从数学角度看，边值问题有三种类型： 微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程 常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程. 偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程 * 1.3 定解问题的提法 例如 都是偏微分方程, 1.3 定解问题的提法 偏微分方程的阶: 方程中未知函数的偏导的最高阶数 是二阶偏微分方程 是三阶偏微分方程. 例: 1.3 定解问题的提法 线性偏微分方程: 对于未知函数及其所有偏导数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数） 非线性偏微分方程:不是线性的偏微分方程 例 是二阶线性偏微分方程 是非线性偏微分方程 1.3 定解问题的提法 n个自变量的二阶线性偏微分方程,一般形式为 这里 和 都是关于自变量 的函数。 如果 ，则称方程为齐次的；否则称为非齐次的。 本课程的主要研究对象： 1.3 定解问题的提法 若函数具有所需的各阶连续偏导数，且使得方程变为恒等式，则此函数为该方程的古典解。 初值条件和边值调节都称为定解条件，与方程结合构成一个定解问题。 只包含初值条件，没有边界条件的定解问题称为初值问题（Cauchy 问题）；没有初值条件只有边界条件的定解问题称为边值问题；既有初值条件又有边界条件的定解问题称为混合问题。 1.3 定解问题的提法 弦振动的Cauchy问题 热传导方程的混合问题 1.3 定解问题的提法 波动方程的混合问题 定解问题是否符合实际情况，从三方面检验： （1）解的存在性 （2）解的唯一性 （3）解的稳定性 若定解问题具有唯一且稳定的解，则称此问题是适定的。 一般线性二阶偏微分方程（n个自变量） 两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式 ………? 2.3 定解问题 * * * * * * 2013级工学院课程 讲解教师：孙小妹 电子邮箱：xmsunn@mail.hzau.edu.cn 手机号码 办公地址：逸夫楼B座402 闫桂峰. 数学物理方法. 北京理工大学出版社,2009。 李元杰. 数学物理方程与特殊函数. 高等教育出版社,2009。 D. Bleecker, G. Csordas，李俊杰 译，基础偏微分方程。 研究数学物理方程的