机械优化设计4无约束方法.ppt

第1章所列举的机械优化设计问题，都是在一定的限制条件下追求某一指标为最小，它们都属于约束优化问题。工程问题大都如此。 为什么要研究无约束优化问题? (1)有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。 (2)通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。 (3)约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式，得 方法特点 （1）初始点应选在X*附近，有一定难度； （2）尽管每次迭代都不会使函数值上升，但不能保证每次下降 ； （3）若迭代点的海赛矩阵为奇异，则无法求逆矩阵，不能构造牛顿法方向； ??（4）不仅要计算梯度，还要求海赛矩阵及其逆矩阵，计算量和存储量大。此外，对于二阶不可微的F(X)也不适用。 虽然阻尼牛顿法有上述缺点，但在特定条件下它具有收敛最快的优点，并为其他的算法提供了思路和理论依据。 4-3 变尺度法 构造尺度矩阵Ak 从初始矩阵A0=I(单位矩阵)开始，通过对公式 2）BFGS算法(Broyden-Fletcher-Gold frob-Shanno ) DFP算法由于舍入误差和一维有哪些信誉好的足球投注网站不精确，有可能导致构造矩阵的正定性遭到破坏，以至算法不稳定。BFGS算法对于维数较高问题具有更好的稳定性。 例4-3： 用DFP算法求下列问题的极值： 沿d0方向进行一维有哪些信誉好的足球投注网站，得 § 4-6 共轭方向法 如果能够选定这样的有哪些信誉好的足球投注网站方向，那么对于二元二次函数只需顺次进行d0、d1两次直线有哪些信誉好的足球投注网站就可以求到极小点x* ，即有 3.共轭梯度法 共轭梯度法是共轭方向法中的一种，该方法中每一个共轭向量都是依赖于迭代点处的负梯度而构造出来。 从xk出发，沿负梯度方向作一维有哪些信誉好的足球投注网站: 则： 鲍威尔法是以共轭方向为基础的收敛较快的直接法之一，是一种十分有效的算法。 1964年，鲍维尔提出这种算法，其基本思想是直接利用迭代点的目标函数值来构造共轭方向，然后从任一初始点开始，逐次沿共轭方向作一维有哪些信誉好的足球投注网站求极小点。并在以后的实践中进行了改进。 这样重复迭代的结果，后面加进去的向量都彼此对G共轭，经n轮迭代即可得到一个由n个共轭方向所组成的方向组。对于二次函次，最多n次就可找到极小点，而对一般函数，往往要超过n次才能找到极小点（这里“n”表示设计空间的维数）。 §4-8单纯形方法 一、基本思想 单纯形替换法也是一种不使用导数的求解无约束极小化问题的直接有哪些信誉好的足球投注网站方法，与前面几种方法不同的是，单纯形替换法不是利用有哪些信誉好的足球投注网站方向从一个点迭代到另一个更优的点，而是从一个单纯形迭代到另一个更优的单纯形。 定义：单纯形 n维空间中的恰好有n+1个顶点（极点）的有界的凸多面体称之为一个单纯形。 根据定义，可知，一维空间中的单纯形是线段，二维空间中的单纯形是三角形，而三维空间中的单纯形则是四面体。 在单纯形替换算法中，从一个单纯形到另一个单纯形的迭代主要通过反射、扩张、收缩和缩边这4个操作来实现。下面以二维问题为例来对4种操作进行说明（参见下图）。 无约束优化方法——间接法总结 1、梯度法 方向 负梯度 用到一阶导数 适合于精度不高或用于复杂函数寻找一个好的初始点 2、牛顿法 用到一阶导数和海色矩阵，具有二次收敛性 要求海色矩阵奇异，且维数不宜太高 3、共轭梯度法 用到一阶导数，具有二次收敛性 4、变尺度法 收敛快，效果好，被认为是目前最有效的无约束优化方法。适用于维数较高，具有一阶偏导数的目标函数 1、坐标轮换法 计算效率较低 适合维数较低，目标函数无导数或导数较难求得 2、Powell法 具有二次收敛性，收敛速度较快，可靠性高，被认为是直接法中最有效的方法之一 3、单纯形法 思路清楚，收敛慢 * 单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。它的理论根据是：线性规划问题的可行域是 n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解。单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解，再鉴别；若仍不是，则再转换，按此重复进行。因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。如果问题无最优解也可用此