横渡钱塘江模型.doc

摘要 本文研究了游泳者的渡江问题，通过建立平面直角坐标系、图形求解，建立了两个模型，分别给出四个问题的解决方案，求解出不同背景下的最优答案. 在问题一中，已知恒定的水流速度、第一名选手的时间及相关距离，将游泳者速度分解为与江岸平行及与江岸垂直，利用位移等于速度乘以时间可求得该选手的速度为1.54，方向为南偏东.若选手以1.5的速度到达终点，可求得时间为913.39s，方向为南偏东. 在问题一的条件下, 在问题二中根据选手在与江岸平行及与江岸垂直的分量上的时间相等，利用相关距离及相应的速度分量求解出选手的速度为2.19. 在问题三中, 水流速度是一个结果为常值的分段函数, 根据函数特征, 因此可以将整个过程分解为三部分，故选手的路径成折线形, 其中首尾两段相同. 我们给出选手速度分量的表达式，三段位移的沿江岸分量之和是1000m作为约束条件，建立总时间最小的线性规划模型，求出所需最少时间为904.03s，距离北边江岸小于200m及大于960m时，游泳方向为南偏东，距离北边江岸大于200m小于960m时，游泳方向为南偏东. 在问题四中，水流速度继续为一个分段函数, 其中首尾是连续的一次函数，具有对称性, 中间是常值函数. 根据函数特征, 距离北边江岸小于200m及大于960m时，我们用物理上的类斜上抛模型模拟选手的游泳轨迹, 距离北边江岸大于200m小于960m时，我们建立与问题三中相似的模型，最后求出时间最优解为840.12s. 本文相关数据处理利用LINGO、mathematica软件. 关键词：线性规划 类斜上抛 mathematica LINGO 直角坐标系问题重述 杭州的横渡钱塘江活动由来已久，的前提下。我们首先确定水以的速度流过的时间小于今年的第一名的成绩。那么今年的第一名选手一定是逆流而上的。其次我们假设第一名选手以的速度在南偏东的方向上游去。通过在水流和垂直于南岸方向的分速度，建立了速度和方向在垂直和水流方向上的方程组。解出速度大小和南偏东的角度。游泳者保持以1.5的速度到达终点。我们先对其在轴上的时间（1160/1.5=773.33s）和水流以1.89的速度在轴上的时间（1000/1.89=529.1）进行比较。如果游泳者想正好要到达终点，那么在水流的相对的速度上一定要减小，游泳者的一定要逆流而上。可假设游泳者的1.5的速度在x轴和y轴上的分量分别为、南偏东。建立方程组解出、。，解出。 对于问题二，假设问题成立，在水流为1.89速度下解出游泳者始终以和岸边垂直的方向游恰好到达终点所需要的速度，根据实际问题和必威体育精装版的千米自由泳世界冠军孙杨的成绩进行比较，判断是否合理。根据题目提供的数据对终点和起点路径进行计算，在和今年的进行比较分析，并根据相应数据判断游泳者的游泳方式进行比较分析。 对于问题三，已知河流速度与河岸距离有关，当距离小于200m时水的流速为1.47m/s，当距离大于200m时水流速度为2.11，而选手的游泳速度不变，选手只能通过调整游泳方向来尽快的完成比赛。我们可以假设选手两种不同水流速下的游泳速度在X轴负方向的分量分别为： 、，游泳速度在Y轴正方向的分量分别为、。根据从南岸码头的正对岸到城市阳台的距离为1000m，我们可以得出一个约束条件，结合选手速度为1.5m/s且保持不变，建立与；与的约束条件。因为距离河岸两边小于200m时的水流速度都相同，所以完成这两边的两段距离所需时间也相同，我们可以根据时间最少找出目标方程，建立线性规划模型。最后，我们利用LINGO软件对上述问题进行求解，得出所需最少时间。 对于问题四，我们可知是在问题三的基础之上进行加深，当距离小于200m时水的流速为一次函数形式，当距离大于200m时水流速度为2.28，选手的游泳速度不变仍为1.5。同样，我们可以根据选手两种不同水流速下的游泳速度在X轴负方向的分量分别为： 、，游泳速度在Y轴正方向的分量分别为、。根据选手速度为1.5m/s且保持不变，建立与；与的约束条件，然后根据距离小于200m时水的流速一次函数表达式，计算出距离岸边距离逐渐增加时X轴正方向的加速度，然后由加速度计算出距离岸边200m时，选手X轴正方向的位移，结合第二段位移时选手的水平位移，得到南岸码头的正对岸到城市阳台的距离为1000m的约束条件。最后利用LINGO软件对上述问题进行求解，得出所需最少时间。 最后本文约定所有计算结果保留小数点后两位。 问题假设 参赛选手游泳速度不受气象条件影响。 参赛选手体力是保持恒定的。 城市阳台为坐标原点（0，0），以正南方为Y轴，正西方为X轴。 选手在不同阶段游泳角度能分别保持恒定。 符号说明 :表示选手速度与X轴负方向夹角。 :表示选手速度南偏东角度。 :选手游泳速度。 ：表示水流速度。 ：表示选手速度负X轴分量与水流