武汉理工大学研究生数值分析2012年试卷及答案.doc

武汉理工大学研究生课程考试试题纸（A卷） 课程名称 数值计算 专业年级 全校2012级 备注: 半开卷（可带一页手写A4纸，左上角写姓名，不得带复印件）, 不得在试题纸上答题 一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将和作为的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少？ 2.已知，求，. 3.确定求积公式中的待定系数，使其 代数精度尽量高，并指出该求积公式所具有的代数精度。 4.求矩阵的谱半径。 5. 设计算A的条件数. 二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分） 1.求满足条件的插值多项式 . 2.已知，求的Lagrange插值多项式。 3.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合 0 1 2 3 1 2 4 5  4.用Jacobi迭代法求解方程组，取初值， 计算迭代二次的值；（2分） 问Jacobi迭代法是否收敛？为什么？（2分） 若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于？ （提示：）（5分） 问Gauss-Seidel迭代法是否收敛？为什么？（1分） 5.用欧拉法求解初值问题在上的数值解，取， 计算过程保留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分） 三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分） 1.设，其中为非奇异矩阵，证明 2.证明向量 的范数满足不等式 四.证明（10分） 对于给定的正数,应用牛顿法于方程，写出牛顿迭代格式； 证明当初值满足时，该迭代法收敛。  武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸 课程名称：数值计算（A） 任课教师 ： 一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 1.将和作为的近似值，它们各有几位有效数字， 绝对误差和相对误差分别是多少？ 3分） 2分） 2.已知，求，. (5分） 3.确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。 解：要使其代数精度尽可能的高，只需令使积分公式对尽可能大的正整数准确成立。由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即。 由数值积分准确成立得： 由数值积分准确成立得： 由数值积分准确成立得： 解得 (3分） 此时，取积分准确值为而数值积分为所以该求积公式的最高代数精度为次。 (2分） 4.求矩阵的谱半径。 解 矩阵A的特征值为 所以谱半径 (5分） 5. 设计算A的条件数. 解： 矩阵A的较大特征值为198较小的特征值为-0则 (2分） (3分） 二.计算题，请写出主要计算过程（每小题10分，共50分） 1. 求作满足条件的插值多项式 . 解：根据三次Hermite插值多项式： (5分） 并依条件，得 (5分） 2.已知，求的Lagrange插值多项式。 解：注意到： 3.3.给出如下离散数据，试对数据作出线性拟合 0 1 2 3 1 2 4 5 解: (5分） ， (5分） 4.用Jacobi迭代法求解方程组，取初值，计算迭代二次的值；（2分） 问Jacobi迭代法是否收敛？为什么？（2分） 若收敛，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于？（提示：）（5分） 问Gauss-Seidel迭代法是否收敛？为什么？（1分） 解：先将方程组化成便于迭代的形式，以分别除以三个方程两边得 ， 迭代矩阵 由于或者因为原方程组系数矩阵严格对角占优，故Jacobi迭代法收敛、且Gauss-Seidel迭代法收敛。 由得公式　 及 可得 所以迭代14次时，能保证各分量的误差绝对值小于 5.用欧拉法解初值问题在上的数值解，取，计算过程保留5位小数。（要求写出迭代公式，不写公式扣4分） 解：欧拉法的公式为 ， （4分） 已知， （6分） 三.分析题，请写出主要分析与认证过程（每小题5分，共10分） 1.设，其中为非奇异矩阵，证明 证明： （5分） 2.证明向量 的范数满足不等式 证明：设是向量的分量，则， 所以由向量范数的概念可知，结论成立.