麻理工学院物理系物理80332003年12月5日选做测验3及解答.DOC

麻省理工學院 物理系 物理8.033 2003年12月5日 選做測驗3及解答 姓名_____________（先名後姓，列印填寫） 1．完成所有題目（四道）。 2．所有問題佔分為25分。 3．閉卷考試，可以帶一頁筆記。 4．儘量將結果表示成一般的解析式。 最後一步再代入資料。 題號 得分 評分人 1 2 3 4 總分 習題1 「牛頓宇宙論」 我們已經得出宇宙的「尺度因數」a的演變公式： 其中H0為當今的哈勃常數（H0≈70km sec-1 Mpc-1），且ΩM和ΩΛ分別為物質與暗能量的密度，以臨界密度為單位。考慮下面的簡單化了的宇宙論，其中ΩM=1且ΩΛ=0。 （1）求出a(t)；結果只能含有無量綱常數H0和時間t。 首先運用題中給出的參數求出 假設大爆炸存在，則可以分別將a(t)和t從0到某時刻t積分： （2）求出哈勃「常數」作為尺度因數a的函數；結果只能含有無量綱常數H0和時間a。 對（1）中的宇宙運用哈勃「常數」的定義 可求得它與尺度因數的依賴關係， （3）寫出尺度參量a與紅移z的關係。運用該運算式以及上面的方程，得出產生紅移z的物體的年齡的積分運算式。將積分積出並求得紅移測值等於6的類星體在發射出光線時的年齡（以H0-1為單位）。 隨著空間的膨脹，所有光子都將相應地被拉伸。其波長的相對增長等於宇宙半徑的相對增長。這種拉伸即表現為光子的紅移z。 可以解出a得（或直接寫出上式） 要求出t和z的關係，最簡捷的辦法是對dt運用鎖鏈法則。 仿照之前的方法，解出該方程（t→0時z→∞）得 習題2 「哈勃常數」 考慮圖中所繪的哈勃圖的上面板。 該圖可以在Astrophysical Journal(Vol. 553, page 62, Fig.4)上Wendy Freedman et al.(2001)的論文中找到。點擊這裏察看圖片。 （1）選一個孤立資料點（v, d），距離d250Mpc。用它來計算哈勃常數的近似值並列出計算的步驟。 在 ~302Mpc處選擇一個數據點，得 （2）運用（1）中得到的哈勃常數的值計算宇宙的特徵年齡，H0-1。結果化成以秒或年為單位（1 parsec=3×1018cm=3×1016m） 單位換算 （3）觀測到一個類星體的Hα和Hβ線的波長分別為6925A和5130A。這些譜線的靜止波長分別為6595A和4885A。求出類星體的z並運用（2）中的結果得出距類星體距離的近似值。 運用1（1）中紅移的結果，對兩條線有 所以若β=0.05則v≈15, 000km/sec且 習題3 「史瓦西度規中光的軌跡」 光子的本征時間為dτ=0。將此與史瓦西度規結合得出光子路線的方程（如dφ/dr的運算式）。 接著，運用費馬原理，即光子選擇一條使A點到B點的行程時間（書架系測得）最短的路線。提示：如果用一個符號如q(r)來代替物理量(1-2GM/c2r)，將使運算更為簡捷。 （1）寫出史瓦西度規並令dτ=0。 其中q(r) ≡ (1-2GM/c2r)。 （2）整理各項，表達出書架系時間的增長與光子徑向位移dr和切向位移rdφ的關係。 （3）運用（2）中的結果得出書架系光子從A點(rA, φA)運動到B點(rB, φB)所需時間的積分運算式。建議將r作為獨立變數。 選dr作為獨立變數，令dφ/dr=φ’ 。 （4）選取合適的歐拉-拉格朗日方程求出路徑積分的最小值，並找出dφ/dr所滿足的方程。建議取r為獨立變數。將第一個積分常數記為b，即為此題的特徵長度，證明這個常數具有長度量綱。不要對dφ/dr的方程積分。 令根號項為函數f，運用歐拉方程得到運動方程。注意積分的常數記為b。 方程的第一項等於0。 這是一個全微分，故被積函數等於一個常數b。 平方後整理： 習題4 「引力紅移與粒子徑向運動」 （1）一個Fe原子X射線光子具有靜止能量hν0 =6.4keV，從一個中子星表面發射出並散播到距星體很遠的地方（即r≈∞）。從史瓦西度規出發得出一個距離很遠的觀察者觀測到光子的能量的運算式。若中子星半徑r等於其史瓦西半徑RS的3倍，其中RS=2GM/c2，求出。 由於我們是通過測量光子頻率來求得其能量，應考察EM波相鄰波峰的時間間隔。由於輻射從一個固定的殼區域發出，在度規中dr和dφ均為0。 將方程取倒數得 代入星體上觀察者測得的靜止能量，可得書架系中能量 （2）一塊石頭沿半徑方向從遙遠處墜入一個品質為M的黑洞。在無窮遠處的初始能量為： 其中m為石頭的靜止能量。求出r(t)的微分方程，其中r和t均在書架系中的座標。不需要解出方程。提示：運用公式頁上E的運算式。將結果表示