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圆锥曲线的发展史思考
* 请大家观察下列图片,找出你知道的曲线! “嫦娥一号”探月变轨轨道图 火电厂及核电站的大型冷却塔 高中数学 选修2-1 第三章 南昌二中 高鹏 gaopeng83@126.com conic section 复习和准备知识 1.圆锥 2.圆锥面 母线 圆锥的母线一样长 圆锥曲线的发展史: 1.最初发现 早在公元前5世纪-公元前4世纪,古希腊巧辩学派的数学家提出了“化圆为方”、“立方倍积”和“三等分任意角”三大不可能尺规作图问题. 化圆为方问题——作一个正方形使其具有给定圆的面积. 立方倍积问题——作一个立方体使其具有给定立方体两倍体积. 三等分任意角问题——把一个给定的角分为三个相等的角. 欧几里得(公元前330-公元前275,古希腊数学家) 高斯(1777年-1855年,德国数学家,物理学家) 公元前4世纪古希腊数学家梅内克缪斯在在研究“立方倍积”问题 ,用平面截不同的圆锥,发现了圆锥曲线 . 圆锥曲线的发展史: 1.最初发现 梅内克缪斯(公元前375-公元前325,古希腊数学家) 当时,希腊人对平面曲线还缺乏认识,上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得到,这就是圆锥曲线的“雏形”. 2.奠基工作 阿波罗尼的著作《圆锥曲线论》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古希腊几何登峰造极之作 ,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地. 总而言之,在古希腊对圆锥曲线的研究就有一个十分清楚的轮廓,只是由于没有坐标系统,所以在表达形式上存在着不容忽视的缺陷. 阿波罗尼(约公元前262~190年,古希腊数学家,与欧几里得、阿基米德齐名.) 圆锥曲线的发展史: 思考:灯光发出的光线在纸板留下的类似什么曲线?试解释以上现象. 实验及探讨 探讨 用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个圆锥面,当平面与圆锥面的轴垂直时,截线(平面与圆锥面的交线)是一个圆. 思考:当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时, 还能得到哪些不同的截线? 问题:用不过顶点的平面截圆锥面, 可能得到哪些曲线? 问题:用过顶点的平面截圆锥面,可能得到哪些曲线? (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 ?? ? ? = ? ? ? 探讨 ? 用一个不过圆锥面顶点的平面去截一个圆锥面,当平面与圆锥面的所成角 与轴截面顶角的半角 大小关系不同时,截线的不同情况如下: 椭圆、双曲线及抛物线统称为圆锥曲线. 阿波罗尼(约公元前262~190年,古希腊数学家,与欧几里得、阿基米德齐名.) 圆锥曲线的发展史: 椭圆: 圆锥曲线的发展史: 椭圆: 刘徽(约公元225—295,魏晋期间伟大的数学家,他的杰作《九章算术》和《海岛算经》,是中国最宝贵的数学遗产.) 动手实验 画椭圆 一般地,平面内到两个定点F1 ,F2的距离的和等于常数(大于F1 F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1 ,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 可以用数学表达式来体现: 椭圆的定义: M Q F2 P O1 O2 V F1 =常数 Dandelin在截面的两侧分别放置一个球,使它们都与截面相切(切点分别为F1 ,F2),且与圆锥面相切,两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2. 19世纪初,法国数学家Dandelin利用与圆锥面和截面均相切的两个球(Dandelin双球),发现了椭圆的特性. 设点M是平面与圆锥面的截线上任一点,过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P,Q两点, 因为过球外一点所作球的切线的长相等,则 研究 问题:如何解释或证明平面截出的椭圆 就是我们刚刚定义的椭圆呢? 例.已知?ABC中,B(-3,0),C(3,0), 且AB,BC,AC成等差数列.试问:点A在一个什么样的圆锥曲线上运动?说明理由 解: 根据条件有AB+AC=2BC, 即AB+AC=12, 即动点A到定点B,C的距离之和为定值12, 且126=BC, 所以点A在以B,C为焦点的一个椭圆上运动. 研究 思考: 例1.如图,取一条拉链,打开它的一部分,在一边减掉一段,然后把两头分别固定在点两点,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,拉链头所经过的点就画出一条曲线. 例1.如图,取一条拉链,打开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1 ,F2处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,M所经过的点就画出一条曲线,试问:这条曲线是什么样的圆锥曲线?试说明理由. 双曲线的一支 双曲线的另一支 一般地,平面内到两个定点F1 ,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1 F2的正数)的点的
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