环保工程师公共基础考试之高等数学微分学.ppt

中华工程资格考试网 1.2.1 极限与函数的连续 函数的特性 2 极限 无穷小 例1. 求下列极限： 令 3. 连续与间断 重要结论：初等函数在定义区间内连续 1.2.2 导数和微分 例4.设 2.导数和微分的求法 例5. 求由方程 例6. 1.2.3 偏导数与全微分 1.2.4 导数与微分的应用 函数单调性的判定及极值求法 极值第一判别法 极值第二判别法 例9. 确定函数 例10. 求函数 例11. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 定理2.(凹凸判定法) 例12. 求曲线 例13. 填空题 (2) 设函数 * * 1.2.1 极限与函数的连续 1.2.3 偏导数与全微分 1.2.2 导数与微分 1.2 微分学 1.2.4 导数与微分应用 1. 函数 定义: 定义域 值域 设 函数为特殊的映射: 其中 定义域：使表达式有意义的实数全体或由实际意义确定。 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 复合函数 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与 复合而成的一个表达式的函数. 例如. 函数 极限定义的等价形式 (以 为例 ) (即 为无穷小) 极限存在准则及极限运算法则 无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小: 两个重要极限 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 重点：求极限的基本方法 洛必达法则 提示: 无穷小 有界 ～ 函数连续的定义 函数间断点 第一类（左右极限存在） 第二类（左右极限至少有一个不存在） 可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 例2. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a = , b = . 提示: 有无穷间断点 及可去间断点 解: 为无穷间断点, 所以 为可去间断点 , 极限存在 例3. 设函数 试确定常数 a 及 b . 导数 定义: 当 时,为右导数 当 时,为左导数 微分 : 关系 : 可导 可微 导数几何意义:切线斜率 1. 有关概念 在 处连续,且 求 解: 正确使用导数及微分公式和法则 （要求记住！）P10 隐函数求导法 参数方程求导法 高阶导数的求法(逐次求一阶导数） 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 求 解: 关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 1. 多元显函数求偏导和高阶偏导 2. 复合函数求偏导 注意正确使用求导符号 3. 隐函数求偏导 将其余变量固定，对该变量求导。 4. 全微分 5. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 例7. 求 解法1: 解法2: 在点(1 , 2) 处的偏导数. 解：设 则 例8. 设 拉格朗日中值定理 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 (递减) . 在开区间 I 内可导, 2. 研究函数的性态: 且在空心邻域 内有导数, (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 的极值 . 解: 1) 求导数 2) 求驻点 令 得驻点 3) 判别 因 故 为极小值 ; 又 故需用第一判别法判别. 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 令 得 从而有 即 由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 . (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . 设函数 在区间I 上有二阶导数 凹弧凸弧的分界点为拐点 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 的连续性及导函数 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示: 的正负作 f (x) 的示意图.