环境统计第六章.ppt

设有两个随机变量x和y，对于任一随机变量的每一个可能的值，另一个随机变量都有一个确定的分布与之相对应，则称这两个随机变量间存在相关关系。 如果对于变量x的每一个可能的值，都有随机变量y的一个分布相对应，则称随机变量y对变量x存在回归关系。 x称为自变量，y称为因变量。通过回归分析，可以找出变量间的数量依存关系，并且可以由x的取值预测y的取值范围。 6.2 一元线性回归分析 两个变量间相关系数r，是反映两个变量之间直线相关关系程度的。当相关系数r有显著性时，只能说明两个变量间存在线相关关系，但它不能反映两变量间相互依存的数量关系。为了从一个变量（自变量x）的值推算另一个变量（因变量y）的值，则可进行直线回归分析。在作回归分析以前，一般先做相关分析，因为只有相关系数显著，回归才显著，求回归方程和回归直线才有意义。 一、 一元线性回归方程的建立 对于有一定联系的两个变量x、 y，在观测或实验中得到若干对数据 （x1， y1），（x2， y2），…，（xn， yn） 在直角坐标系上，标出各对数据对应的点，称其为散点图（参看图6.1）。 散点图中的点虽然是散乱的，但是如果这些点大体散布在某条直线的周围，就说x和y之间大致成直线关系（参看图6.1a、b），就可用直线回归方程来描述，其一般形式为： 　　读作“y依x的直线回归方程”。其中x是自变量，　　是与x值相对应的y的点估计值；a是当x = 0时的　　值，即直线在y轴上截距，叫回归截距；b是回归直线的斜率，叫做回归系数，其含义是自变量x增加一个单位，y平均增加或减少的单位数。我们只要求出a和b的值，直线回归方程就完全确定下来了。 回归直线在平面坐标系中的位置取决于a、b的取值，为了使能最好地反映y和x两变量间的数量关系，根据最小二乘法，必须使 达到最小。根据微积分学中的极值原理，必须使Q 对a、b 一阶偏导数值为0，则 整理得正规方程组： 解方程组，得 例6.2 　某环境监测站研究水中溶解氧与微安值之间的关系，对7份水样同时用碘量法测定溶解氧和用快速极普法测微安值，测定结果如表6.3所列。试求其直线回归方程，并绘出回归直线。 水样溶解氧与微安值测定值 直线回归分析基础数据计算 分别计算 计算a与b的值： 直线回归方程为 水中溶解氧与微安值间的关系 F检验 检验y与x之间是否存在线性关系，采用F检验法，检验假设为H0：两变量间无线性关系；对H1：两变量间有线性关系。在检验假设H0下，回归方差与剩余方差的比值服从 的F分布，所以，可用 来检验线性回归关系的显著性 . 例6.3 试检验例6.2资料线性回归关系的显著性。 假设 H0： H1： 根据前面所得数据，计算出U与Q 的值： 按式(6.20)计算统计量F值 查F界值（附表5），得，F＞ ，P＜0.01，按 拒绝H0， 接受H1，可认为两变量间存在线性回归关系。 6.3.3.3 t检验 采用t检验也可以检验线性回归关系的显著性。假设H0： ；对H1： 该方法是检验样本回归系数b是否来自 的双变量总体，以推断线性回归的显著性。 回归系数的标准误和t值的计算公式为： 6.3线性相关分析 6.3.1相关系数和决定系数 研究两个变量的关系，当一个变量x由小到大，另一个变量y相应地由小到大(或由大到小)，此时两个变量的散点图呈直线趋势，可以说这两个变量间有直线关系。这种直线关系，或分析这种直线关系的理论和方法，统称直线相关。两个变量间直线相关的性质和密切程度，可以用直线相关系数来描述。 直线相关系数用符号r表示。 ∣r∣≤1，相关性质与相关系数r值的关系见下图 设变量y随变量x而变化，即x为自变量，y为因变量。 当x由小到大，因变量y由小到大时，则r值为正，称正相关； x由小到大，而y相应地由大到小时，则r值为负，称负相关； 若x与y间呈完全确定的函数关系时，各点都在一条直线上，则r =1或r = -1，称完全相关； 若x由小到大，而y的大小无一定规律，这时r = 0，称零相关。 显然，相关系数r的绝对值越接近于1，相关越密切；r的绝对值越接近于0，相关越不密切。 由于相关系数r表示相关程度的意义并不清楚，而且解释夸大，比如r =0.5并不是表示x和y变异50%可由二者之间的线性关系来解释，这样需要引入另一个表示相关程度的统计数——决定系数。决定系数定义为相关系数r的平方，其含义是变量x引起y变异的回归平方和占y变异总平方和的比率。r2的取值范围为〔0，1〕，它只能表示相关程度而不能表示相关性质。 相关系数r的计算 (1