电磁场与电磁波(矢量分析)1.ppt

第1章 矢量分析 1.1 场的概念和表示法 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量 散度 1.5 矢量场的环流 旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.2 三种常用的坐标系 1.1 场的概念和表示法 一 1、场的定义与分类： 一个确定区域中的场被定义为：物理系统中某物理量在该区域的一种分布。如果被描述的物理量是标量，则定义的场被称为标量场；如果被描述的物理量是矢量，则定义的场被称为矢量场。 场的分类： 标量场与矢量场 静态场与时变场 2、场的描述与场函数：场的描述方法有多种：列表法、函数法等，描述场在空间中分布的函数称为场函数。 3、场的值或场量：物理量在场空间中一点的取值 空间某一区域定义一个标量分布，如温度,电位,高度等，可以用一个标量函数来描述，其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。 二、标量场 三、矢量场 空间某一区域定义一个矢量分布，如速度场,电场、磁场等，可用一个矢量函数来描述,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。 1.2 三种常用正交坐标系 1.2.1 ? 直角坐标系 坐标变变化范围是: 右手螺旋法则 位置矢量: 矢量表示： 微分线元： 度量系数： 面积元： 体积元： 1.2.2圆柱坐标系 坐标变化范围是: 右手螺旋法则： 位置矢量： 矢量表示： 微分线元： 面积元： 体积元： M点处沿(r, ,z)方向的长度元分别是： 度量系数分别是： 1.2.3球面坐标系 坐标变变化范围是: 右手螺旋法则： 位置矢量： 矢量表示： 微分线元： 坐标线元： 度量系数： 面积元： 体积元： 1.2.4 三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标与柱坐标系的关系 （2）直角坐标与球坐标系的关系 （3）柱坐标系与球坐标系的关系 1.3 标量场的梯度 一、 方向性导数与梯度 等值面：标量场中量值相等的点构成的面。 方向性导数 ◇ 考虑标量场中两个等值面 梯度 ◇ 由方向性导数的定义可知：沿等值面法线 的方向性导数最大。 故 标量场 在P点的梯度是一个矢量 大小：最大方向性导数 方向：最大方向性导数所在的方向 为标量场 在P点沿 方向的方向性导数。其大小与方向 有关。 ◇ 定义标量函数 沿给定方向 的变化率： 可得 在直角坐标系中梯度的计算公式推导 直角坐标系中哈密顿算符表示为 直角坐标系中梯度计算公式为 柱坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为 球坐标系中的哈密顿算符和梯度计算公式为 1.4 矢量场的通量 散度 空间面元矢量： 与面元垂直的单位矢量 面元大小 的指向有两种情况： （1）对开曲面上的面元， 的取法要求围成开表面的边界走向与 满足右手螺旋法则 （2）对闭合面上的面元， 一般取外法线方向 一、通量 矢量场的通量 若S 为闭合曲面 定义矢量 沿有向曲面S 的面积分 为矢量 穿过有向曲面S 的通量。 二、散度 如果包围点P 的闭合面?S 所围区域 以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在，定义该极限为矢量场 在P 点的散度。即 三、散度的物理意义 ◇ 散度代表矢量场的通量源的分布特性。 ?? A = 0 (无源） 在矢量场中，若 = ??0，称之为有源场，? 称为(通量)源密度；若矢量场中处处 =0，称之为无源场。 ◇ 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数。 = ??0 (正源) = ?0 (负源) 散度的计算公式的推导： 在直角坐标系中，曲面上的通量可表示为 在闭合面上 的通量为 在直角坐标系中，研究的点P 为顶点作一个平行六面体， 矢量 的通量为 穿出三对表面的通量之和。 其三个边分别为 穿出此六面体表面 左右一对表面穿出的净通量 上下一对表面穿出的净通量 前后一对表面穿出的净通量 故从平行六面体穿出的净通量为 代入式散度计算公式得 直角坐标系中的散度计算公式为 矢量场 的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量 的标量积， 即 直角坐标系中的散度计算公式为