离散方程的误差与物理特性分析-热流问题的数值计算-课件-03.ppt

3.2分析初值问题稳定性的Von Neumann方法 以第一类边界条件的一维非稳态导热问题为例： 3.2.3 Von neumann分析的基本思想 3.2.4 关于显式格式的稳定性分析的进一步讨论 3.3离散方程的守恒性(Conservativeness) 3.3.2 用直接求和法分析对流项中心差分的守恒特性 3.3.3 保证离散方程具有守恒性的条件 3.3.4 对离散方程守恒性的评述 1. 采用守恒性的离散方程计算的结果能与原物理问题在守恒特性上保持一致； 2. 可以使对任意大小的体积的计算结果具有对原离散格式所估计的误差。当对某个离散格式作截断误差分析时，是对任意取出的一个控制容积来进行的。当把这一离散格式应用于由若干个相互邻接的控制容积所组成的有限容积时，如果界面上的通量可以相互抵消，则对该体积进行该物理通量的数值计算的总体误差只有在边界上存在。 3.4离散方程的迁移特性 3.4.1 对流与扩散现象在物理本质上的区别 3.4.2扩散项中心差分可以将扰动均匀地向四周传递 3.4.3对流项离散格式的迁移特性 3.4.4 对流项的迎风差分具有迁移特性 3.4.4.1 迎风差分的基本思想 3.4.5关于迁移性及迎风差分的进一步讨论 本章习题2、4、5、7、9 如果对流项的某种离散格式仅能使扰动沿着流动方向传递，则称此格式具有迁移特性。 3.4.3.1 定义 有: 将中心差分用于一维非稳态纯对流方程的非守恒形式： 证明： 3.4.3.2 对流项的中心差分不具有迁移 特性 因此 其中 对于节点i+1在n+1时层有: 在i点的扰动同时向相反的两个方向传递，所以对流项的中心差分不具有迁移特性. 因此 其中 对节点i-1， 迎风差分的基本思想是迎着来流（即从上游）获得信息以构造对流项的离散格式。 见图3-13 初始条件为: A为系数矩阵。 (2b) (2a) 3.2.1误差矢量随时间传递的规律 上式可改写成以下简洁的形式: 由此，得: 式（3）与（2）相减，得: (3b) (3a) 假设在给出初值时引入了误差矢量，把与这一含误差的初值相对应的解记为 ，则 对于线性初值问题，如果在边值的计算中不引入误差，则误差矢量的传递规律与原差分方程完全一样，可应用原差分方程来分析误差随时间的推移而传递得情形。 结论： 假定所计算得初值问题的边界值是准确无误的，而在某时层的计算中引入了一个误差矢量（即小扰动).如果这一扰动的强度随时间的推移不断增大，则这一格式是不稳定的；反之，是稳定的。 基本思想 为进行某一离散格式稳定性的分析，可以把误差矢量的一个谐波分量表达式代入离散方程，以得出相邻两个时层间该谐波分量振幅之比。格式稳定的条件要求： 放大因子 得 代入离散方程 解：将 试分析一维非稳态导热显式格式的稳定性。 例题1 注意：Von Neumann分析法是针对第一类边界条件问题而发展的，上述稳定条件仅适合于内部节点。 右端自动成立，左端成立需满足条件 稳定得条件为： 经整理，得 例题2: 试分析一维模型方程格式的稳定性条件。假设一维模型方程中的源项为常数，在分析格式稳定时不予考虑。空间导数采用中心差分。 解：一维模型方程 代入，经整理得 把 其中 方程可写为： 令 称为Courant数，得 稳定性要求： 代表了在复平面上的一个椭圆，其中心在实轴上的(1-2r)处，长轴为2r，短轴为 c。为使 ，椭圆必须位于以原点为中心，半径为1的圆内，因此，必要条件为： Von Neumann分析法的不足是不能考虑边界条件的影响。 其中 对于二维对流-扩散方程的显式格式，其稳定性的条件为： 或 一维模型方程的显式格式稳定的充分必要条件为： 的离散方程中,稳定的条件为系数A、B、C均大于零。 以一维问题为例,在形如： 对于非稳态扩散方程的显式格式，可采用正系数法来获得稳定性条件。 在数学上满足稳定性条件的解，不能保证一定得出具有物理意义得结果. 以上分析初值问题显式格式稳定性的方法只适用于线性问题，不能直接用于非线性的初值问题差分格式的分析。对此可用局部线性化的近似的处理方法。对每一时层的计算，速度都取上一时层的值，然后按线性问题的分析法，找出该时层各节点上稳定性条件所允许的最大时间步长，并以其中的最小值作为向下一时层推进的时间间隔。 注意： 相容性， 收敛性， 稳定性。 数学特性： 守恒性， 迁移性， 人工粘性； 三种主要的物理性能： 在对流-扩散方程的离散过程中，扩散项二阶导数的中心差分离散格式具有优良的物理特性和计算精度，物理特性的不良表现都是由于对流项的离散方式不完善所致。 定义：如果对一个离散方程在定义域