第2篇 第12讲综合.ppt

[必威体育精装版考纲] 1．利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题； 2．会利用导数解决某些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1．生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 3．导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究． [感悟·提升] 1．两个转化 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，如(2)． 2．两点注意 一是注意实际问题中函数定义域，由实际问题的意义和解析式共同确定，如(3)． 二是在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么可直接根据实际意义判定是最大值还是最小值，如(4)；若在开区间内有极值，则一定有最优解. 考点一　导数与生活中的优化问题 【例1】　(2013·重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大． 规律方法　求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点． 考点二　导数在方程(函数零点)中的应用 【例2】　(2013·北京卷)已知函数f(x)＝x2＋xsin x＋cos x. (1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围． 解　由f(x)＝x2＋xsin x＋cos x， 得f′(x)＝x(2＋cos x)， (1)∵y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切． ∴f′(a)＝a(2＋cos a)＝0且b＝f(a)， 则a＝0，b＝f(0)＝1. (2)设g(x)＝f(x)－b＝x2＋xsin x＋cos x－b， 令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x＝0. 当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表： 所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b. 当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y＝f(x)与y＝1最多有一个交点，不合题意． 当1－b＜0时，即b＞1时，有g(0)＝1－b＜0， g(2b)＝4b2＋2bsin 2b＋cos 2b－b＞4b2－2b－1－b＞4b－2b－1－b＞0. ∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点， 又y＝g(x)在R上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点． 故当b＞1时，y＝g(x)在R上有两个零点，则曲线y＝f(x)与直线y＝b有两个不同交点． 综上可知，如果曲线y＝f(x)与直线y＝b有且只有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，＋∞)． 规律方法　(1)在解答第(2)问时，可转化为判定f(x)＝b有两个实根时实数b应满足的条件，并注意g(x)的单调性、奇偶性、最值的灵活应用，另外也可作出函数y＝f(x)的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证． (2)该类问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一． 解　(1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)． 由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝a(a＞0)． 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调递减区间是(－1，a)． 审题路线　(1)转化为g′(x)≥0在[e2，＋∞)上恒成立问题． (2)代入f(x)?分离出m