第2章：有限单元法力学基础.ppt

用有限元法求解弹性力学问题，虽然并不需要掌握弹性力学中很多的理论，但须对其中的某些基本概念和基本方程有所了解。为此，本章中将简单介绍这些概念和方程，作为介绍弹性力学有限元法的导引。 2.2 弹性力学中的基本概念 2.4 圣维南原理 2.5 虚功及虚功方程 2.5 应用弹性力学的简化模型[2] 2.5.1 梁与杆 2.5.3 板与壳 2.5 .3轴对称问题 F (2-4) F 弹性力学的任务是研究弹性体在外力和温度变化等因素作用下所产生的应力、应变和位移。工程界应用的绝大多数材料几乎都是弹性体，因此弹性力学是研究工程问题的基础。严格的说，弹性体都是三维的，也就是空间立体结构。为了数学推导和求解的方便，常对其计算模型进行简化以便于付诸实施，这也是所有应用学科研究中采用的方法。但这种简化是有条件的，必须保证计算误差在允许工程误差范围之内。通过这种简化，将一般数学弹性力学问题转化为应用弹性力学问题。 当考察的构件长度远大于截面尺寸，这类构件称为杆件，简称杆。轴线为直线的杆称为直杆（包括等截面直杆和变截面直杆），否则为曲杆。 在 材料力学中，杆件可以承受剪切、扭转和弯曲。在有限元中，杆单元只能承受轴线方向的作用力，即承受轴线方向的拉伸和压缩，因此又称为二力杆；若是曲杆或还承受有剪切、扭转、弯曲的杆件，均只能按梁单元处理。 2.5.2 平面问题 当结构的形状和受力状态具有一定特点，导致应力、应变、位移可以近似看作是在一个平面内发生时，这类工程问题就是平面问题，即二维问题。平面问题分为两类：平面应力问题和平面应变问题。 （1）.平面应力问题 对于具有如下特征的构件，可作平面应力问题处理： （1）几何形状特征 物体在一个坐标方向的几何尺寸原远小于其它两个坐标方向的尺寸，如图所示的薄板 （2）载荷特种 在薄板的两个侧表面上无表面载荷，作用于边缘的面力平行于板面，且沿着厚度不发生变化（或沿厚度变化但是对称于板的中间平面），体力也平行于板面且不沿着厚度变化。 图 2-5 平面应力问题 (2.5-1) (2.5-2) (2.5-3) F (2.5-4) （2）.平面应变问题 对于具有如下特征的构件，可作平面应变问题处理： （1）几何形状特征 物体沿着一个坐标轴（例如Z轴）方向的长度很长，且所有垂直Z轴的横截面都相同，亦即为一个等直柱体；位移约束条件或支撑条件沿着Z轴方向也是相同的； （2）载荷特种 柱体侧表面承受的表面力以及体积力均是垂直于Z轴，而且分布规律是不随Z轴变化。 这样的柱体，可以认为远离物体两端的截面将没有Z轴位移，而沿x和y方向的位移在各截面上都是相同的，任意截面上的应力分量和应变分量都是x和y的函数，与Z无关，即?Z=0。如下图所示。 图2-6 平面形变问题 (2.5-5) (2.5-6) 在实际工程中，由两个平行平面和垂直于它们的柱面或棱柱面所围成的构件，当其尺寸远小于平面的任意方向尺寸时，称为板。两个平行平面称为板面，柱面或棱柱面称为板边，两平行平面之间的距离称为板厚，而平分板厚的平面称板的中面。当板厚与板面内的最小特征尺寸之比1/5时，称厚板；当板厚与板面内的最小特征尺寸之比1/80时，称膜板；当板厚与板面内的最小特征尺寸之比介于1/80与1/5之间时，称薄板。对于厚板，一般须做三维空间问题处理；对于膜板，由于平面的抗弯刚度很小，基本上只能承受膜平面内的张力可作为平面应力问题处理。对于薄板，当全部外载荷作用于中面内而不发生失稳现象时，它也 属于平面应力问题；当全部外载荷都垂直于中面时，则主要发生弯曲变形。在板发生弯曲变形时，中面上各点沿垂直方向的位移，称为板的挠度。如果挠度和板厚之比=1/5，可以认为是板的小挠度问题，否则为板的大挠度问题（属于非线性问题）。 考察薄板小挠度弯曲理论的基本假设是由克希霍夫(Kirchoff)提出，所以又称为克希霍夫薄板理论或克希霍夫板，他的主要假设是： 图2 -7 克希霍夫薄板 (1) 变形前垂直于薄板中面的直线（法线），在薄板变形后仍保持为直线，且垂直于弯曲变形后的中面，在其板内段的长度不变，这就是著名的直法线假设，它与材料力学中研究梁弯曲问题的平截面假定相似。根据这个假定，如果将板中的中面作为OXY平面，Z轴垂直向下，如图所示2- ，则有 用挠度函数表示应力为： 从几何形状考察，壳体与板的区别在于，板的中面是平面，曲率＝0，而壳体中面是曲面，曲率不等于0。由于曲率的存在使壳体的几何方程变得更为复杂。同样壳体分为薄壳和厚壳。这里只介绍工程中常见的，也是最为简单的薄壳。 薄壳理论是