第3-4章 B样条曲线曲面.ppt

三次B样条曲线绘制示意图 同理，对于终点P（1）处的情形与此相应。如果在B特征多边形上增加了一个顶点P4，那么P1P2P3P4又可定义一段新的三次B样条曲线。因为新曲线段起点的有关数据和上一段曲线的终点的有关数据都只和P1、P2、P3三点有关，所以该二段曲线在连接处的位置矢量，一阶切矢和二阶切矢都应相等，即： P1(1) = P2(0) P1(1) = P2(0) 这就证明了，三次B样条曲线可以达到二阶连续。 以下是三次B样条曲线的VC源程序： void BSpLine(CPoint *pp, int n) //这里数组pp的下标从1开始 { int x,y,i,j,k=1000; double t,t1,t2,t3,a,b,c,d; t=1.0/k; pp[0].x=2*pp[1].x-pp[2].x; //端点处理 pp[0].y=2*pp[1].y-pp[2].y; pp[n].x=2*pp[n-1].x-pp[n-2].x; pp[n].y=2*pp[n-1].y-pp[n-2].y; MoveTo(pp[1]); for(i=1;in-1;i++) { for(j=1;j=k;j++) { t1=j*t; t2=t1*t1; t3=t2*t1; a=(3*t2-t3-3*t1+1)/6; b=(3*t3-6*t2+4)/6; c=(3*t2-3*t3+3*t1+1)/6; d=t3/6; x=int(a*pp[i-1].x+b*pp[i].x+c*pp[i+1].x+d*pp[i+2].x); y=int(a*pp[i-1].y+b*pp[i].y+c*pp[i+1].y+d*pp[i+2].y); LineTo(x,y); } } } 四、 B样条曲线 Bezier曲线不足之处： ①造型不灵活。确定了多边形的顶点数(n+1个)，也就决定了所定义的Bezier曲线的阶次(n次)，这样很不灵活。 ②当顶点数(n+1)较大时，曲线的阶次将比较高。此时，多边形对曲线形状的控制将明显减弱。 ③不能局部修改。 图1和图2为三次Bezier曲线的各种不同情况的分析比较。 图1 控制点相同，顺序不同的三次Bezier曲线 图2 移动控制点P2的不同效果比较 B样条曲线的优点： B样条曲线除了保持了原Bezier曲线所具有的优点外，还增加了可以对曲线进行局部修改这一突出的优点。 除此之外，它还具有对特征多边形更逼近，多项式阶次较低等优点。 因此，B样条曲线在外形设计中得到了广泛的重视和应用。 图3 B样条曲线的局部特性。 变动P5使右半部分曲线变化，但左半部分不变 图4 由8个控制点定义的不同阶次B样条曲线和Bezier曲线对比 Pi,n(t)= (0≤t≤1) 式中：Pi,n(t)为第i段n次B样条曲线段(i=0,1,…,m)，Fk,n(t)为n次B样条基函数，也称为B样条分段混合函数。其形式为： 通常，给定m+n+1个顶点Pi (i =0, l, 2, …, m+n)，可以定义m+1段n次的参数曲线为： 1. B样条曲线定义 连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。依次用线段连接Pi+k(k=0, 1, …,n)所组成的多边形称为B样条曲线在第i段的B特征多边形。 n次B样条曲线可达到n–1阶连续。 对于二次B样条曲线，n=2，i=0, l, 2，Fi,n(t)可以写成如下形式： 2. 二次B样条曲线 因此，二次B样条曲线的分段表达式可以写成如下的形式： Pi,2(t)= F0,2(t)Pi + F1,2(t)Pi+1十F2,2(t)Pi+2 (i= 0,1…m) 综合起来，二次B样条曲线还可以写成更一般化的形式： 式中Pi，Pi+1，Pi+2为第i段曲线的B特征多边形的顶点。 对上式求一阶导数可得： 二次B样条曲线的几何性质： 端点处的性质： 第i段曲线的起点在边PiPi+1的中点，终点在边Pi+1Pi+2的中点 二次B样条曲线绘制示意图（i=0） 第i段曲线的起点处的切线是边PiPi+1，终点处的