分析的时代——微积分的进一步发展.PPT

9分析的时代——微积分的进一步发展 17世纪由牛顿和莱布尼茨创立的微积分，为数学的研究提供了强有力的工具。此后的大部分数学家的注意力，都被这有着无限发展前途的学科所吸引。尽管微积分兴起的初期还存在着一些逻辑上的缺陷，但大部分数学家则暂时搁下逻辑基础不顾，勇往直前地去开辟新的园地，如伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西和魏尔斯特拉斯等人。从18世纪到19世纪上半叶的数学发展，可以说就是围绕这些天才大师展开的。经过这些数学家的努力，在微积分的基础上又产生了一些新的数学分支，如微分方程、无穷级数、微分几何、函数论、积分发展、变分法、泛函分析等等，这些学科的的总称也常常叫做数学分析，有时被用作是微积分的同义语。可以说，17世纪到19世纪上半叶的数学史，几乎就是数学分析的历史。 9.1 来自物理学的问题——微分方程 当牛顿、莱布尼茨创立了微积分以后，数学家们便开始谋求微积分这一有力的工具去解决愈来愈多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。因此可以说，早在牛顿甚至牛顿以前的时代，微分方程就开始进入到数学家的研究视野中来了。 9.1.1 伯努利家族的贡献 摆是人们日常生活中司空见惯见惯的现象，如老式时钟的钟锤的摆动等；然而在数学家的眼里却是一个难得的课题：这就是沿着怎样的一条曲线，使得摆动的周期与振幅无关？惠更斯从几何上引进摆线解决了这个问题。出乎人意料的是由这个问题又引出了一个更为深刻的问题。根据惠更斯等人的研究成果，摆的近似周期 依赖于重力加速度g，故用摆的周期可以测量地球表面不同地点的重力。只要沿着地球的一条经线依次测量 出相当于纬度改变一度的长度，再利用某一理论和相应的g值，就可确定再地球的形状。事实上，牛顿根据观察到的摆周期随地球表面不同地点的变化推断出：地球在赤道上是鼓起的，地球的赤道半径超过极半径1/230。为了对牛顿的推断加以核实，许多科学家着手进行实测，可能是测量工具不太精确，出现两种截然不同的结论。然而此时的牛顿却更深入到天文学中的“三体问题”中去了。所谓三体问题是指在太阳和地球引力作用下月球的状态，这正是研究行星及其卫星在太阳引力和所有别的星体的相互吸引下的运动的开端。这个问题导致了牛顿对二阶微分方程级的探讨，不过，牛顿 并没有给出这些方程的解。 弹性问题也是促使微分方程迅速发展的一个重要课题，这一问题最早是在建筑中考虑房梁在外加荷载下所形成的形状而提出的。这类问题反映在数学中的形式是悬链线方程、振动弦的方程、两端固定的弹性振动方程等。 在解决这些问题的过程中，伯努利家族可以说是风光无限。这个家庭是数学与科学史上最著名的家族之一，自17世纪以来，产生了许多著名的数学家和科学家.其中雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli,1654—1705）和约翰·伯努利（John Bernoulli,1667—1745）兄弟最为著名。早先雅各布研究神学，约翰学医，但当 莱布尼茨的数学论文发表以后，他们都决意要当数学家而成为了莱布尼茨最早的学生。尽管这兄弟俩在学术问题上势不两立，经常争论得不可开交，但在莱布尼茨的影响下，他们都认识到微积分的巨大作用，并成功地将其应用于各种各样的问题。 1690年，雅各布·伯努利在考虑“求一条曲线，使得一个摆沿着它作一次完全振动都取相等的时间，而不管摆所经历的弧长大小”这样的一个所谓的“等时问题”时，将其归结为求一个微分方程 的解，雅各布·伯努利认为这个微分等式两端的积分必相等，并给出解答 这是一条摆线。在给出这个问题解答的同一篇论文中，雅各布·伯努利提出了一个新的问题：一根柔软而不能伸长的弦自由悬挂于两固定点,求这个弦所形成的曲线.莱布尼茨称此曲线为悬链线。问题提出一年后，莱布尼茨、惠更斯和约翰·伯努利分别给出了解答。其中约翰的解答是这样的：首先将其归结为一个微分方程 ，其中S是由B到任意点A之间的 弧长，C则是依赖于弦在单位长度内的重量。从这个微分方程可以推导出我们现在写成 的解，对此约翰感大莫大的骄傲，他认为这是胜过自己哥哥的一个重要标志，因为他的哥哥尽管提出这个难题但却不能解决它。 在这两兄弟的相互竞赛中，在1691年到1692年之间他们先后解决了悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性软绳以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳所成