力学量算符的正交归一的本征函数完备系.PPT

3、本征值方程 （1） 移项得： （2） 此式即为线性齐次方程组： （m = 1，2，3……） 非零解的条件是系数行列式等于0，即久期方程： 求出本征值 将每个 值分别代入矩阵方程（1）或（2），求出　　　　　　　　, 即得本征函数 这样变解微分方程为解代数方程。 例 已知在 和 的共同表象中，算符 和 的矩阵分别为 求它们的本征值和归一化的本征函数. 解 设 的本征值为 ,本征波函数为 本征方程为 （1） 要使本征波函数不为零，亦即要求a,b,c不全为零，其条件是（1）中的系数矩阵的行列式为零。 久期方程 本征值 当 时， 由（2）有 由归一化条件: 归一化常数 归一化的波函数 当 时,由（2）有 归一化条件 归一化的波函数： 当 ,由（2）有： 归一化条件 归一化的波函数： 构成一个正交归一本征函数完备系 正交归一化条件： 类似地, 可求出 的本征值、归一化的本征函数系。 本征值 本征波函数： 正交归一化条件： 4、薛定谔方程 在Q表象中，其矩阵形式为： 简写为： 其中 例 到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。 波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。 在任意力学量表象中Ψ(x,t)所描写的态如何表示呢? 同一个态可以在不同表象中用波函数来描写,所取的表象不同,波函数形式也不同,但它们内描写同一状态.这和三维矢量空间矢量的表示很类似。 在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题.被认为是20世纪数学的制高点，对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影响。著名的歌德巴赫猜想也是问题之一，以陈景润为代表的中国数学家获得了重大突破，但还没有彻底解决。） 8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。  　　素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润 . （16）代数曲线和曲面的拓扑研究。 1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。  前面讨论了态在各种表象中的表达方式,下面讨论算符在各种表象中表达方式. 第3章 量子态与力学量的表象 §3.1 态的表象 §3.2 算符的表象---矩阵表示 §3.3 表象间的变换---幺正变换 §3.4 Dirac符号 §3.5 线性谐振子与占有数表象 重点掌握的内容 ◆ 二个表示： 态在任意表象中的表示； 算符在任意表象中的表示。 ◆三个公式： 在任意表象中 的表示 平均值公式 本征值方程 薛定谔方程 ◆ Dirac符号及应用 ◆ 幺正变换的基本性质 表象的定义 ◆ 一个定义： §3.1 量子态的表象 动量表象 能量表象 角动量表象 常用的表象 坐标表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象 任意力学量表象 构成付里叶变换与逆变换 展开系数 任一状态 可按其展开： 从数学上讲，知道其一, 必可唯一地求出另一。 从物理角度看， 描述粒子状态，那么 描述粒子同一状态。 1．态的动量表象 组成 完备系 动量算符本征函数： 物理意义？ 是在 所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果为 的概率。 是在 所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果为 的概率。 两者从不同的侧面描写粒子的状态, 给出了粒子的不同信息（力学量 和 的信息）。 称为坐标表象中的状态波函数， 称为动量表象中的状态波函数。 2．Q 表象