力学量的表示和表象变换.PDF

第第第三三三章章章 力力力学学学量量量的的的表表表示示示和和和表表表象象象变变变换换换 前面我们已经提到了在量子力学中力学量应该用算符表示，这就是所谓的量子化(一次量子化)， ˆ ⃗ ˆ ˆ 如在坐标空间中，动量算符p⃗ = −i∇x ，动能算符T = −m ∇ ，位置算符⃗x = ⃗x等，在动量空间 p ˆ ⃗ ˆ ˆ 中，⃗x = i∇p ，p⃗ = p⃗ ，T = m 等。这里我们要强调的是量子力学中的算符必须与波函数相结合才有真 实意义。它包含了几个信息：1)算符表示了一种操作()(运算)，必须有操作对象，这个对象就是波 函数，否则就无物理意义；2)选取不同的波函数表示(表象)，算符的表现形式是不同的，如坐标、动量表 象；3) 不同表象的物理实质是一样的，即力学量算符(可测量量)的平均值不变。 算算算符符符及及及其其其运运运算算算规规规则则则 空空空间间间及及及其其其算算算符符符 所谓 空间，是定义在某个数域上的完备线性内积空间。我们知道波函数 是描述微观物理系统的运动 状态的，它所遵循的规律决定了我们应该用怎样的函数空间来描述微观系统。波函数的叠加原理说明 满足 线性叠加原理，因此我们可以用一个线性空间来描述。也就是说，一个系统在一定时刻的一切可以实现的 纯态的波函数 ，来构成复数域上的一个线性空间，每一个纯态对应于线性空间的一个基矢。每一个混合 n ∑ 态对应于一个态矢量，即可以表示为基矢的线性叠加 = n cn n ，其中系数|cn | 是系统处于某个纯态（基 ˆ 矢）的可能几率，这样的线性空间就是 空间。因此量子力学所表达的是一种统计规律，与力学量A相 对应的是它的平均值，或者说是期待值 ˆ ˆ ⟨ |A | ⟩ ⟨A⟩ = ⟨ | ⟩ ∫ ∗ ˆ 即平均值是 与A 的内积。定义内积为( , ) = ⟨ | ⟩ = dτ 。我们看到，算符的作用是使波函 ′ 数 变成了另一个波函数 。这也是为什么算符是”” 。 我们以一维无限深势阱作为例子来说明这个概念。我们知道本征方程的解-本征波函数为 (x) = n √ sin nπx (n = 1, 2, ...)，这些本征函数就是基矢，它们共同构成的线性空间就是 空间。所谓线性 a a 空间是与态的叠加原理相应的，因为这些本征（波）函数的线性组合也是本征方程的解。从某种程度上， ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 可以与坐标空间作类比。基矢是i (x)，j (y)，k (z)，任何一个矢量总是可以表示为⃗r = a i + a j + a k 。只 是，这儿的基矢只有三个，而在量子力学中，基矢可能是无限多的的。可见， 1) 空间一般是无限维