动力系统中若干回复性问题的新进展.PDF

动力系统中若干 回复性问题的新进展 叶向东 邵松 中国科学技术大学数学系 年 月 日 摘要 回复属性是动力系统研究的核心内容之一。在本综述 中我们将讨论拓扑动力系统 回复属性 研究的一些新进展，主要侧重于与多重 回复性、 问题、乘积 回复性、不交性 问题等相关 的一些主题。我们的主要 目的是简要介绍最近相关 问题 的研究进展，给 出与之相关 的参考文献，并且陈述一些未解决的问题。 引言 在本综述 中，我们主要讨论拓扑动力系统中的若干与回复性相关的问题 。拓扑动力系统 是指二元组 其 中 是一个紧致度量空间， 为其上的一个连续满的 自 射。保测 系 统 是指四元组 其 中 是 概率空间， 为可逆保测变 换。 关于更多动力系统的概念和背景知识，请读者参见 。相关的综述性文 章可以参见 和等。 回复性 动力系统主要描述几何空间中的一个点随着时间变化的规律，研究未来的状态如何依赖 于当前状态。如果一个状态随着时间的演变不再出现，那么很多情况下这个状态是研究中不 太关心的。而那些随着时间演变能够经常 出现的状态，就是动力系统 中的回复点。现代动 力系统研究中的回复性可以追溯到著名的法 国数学家 的工作。为了研究 体问题， 发展了许多全新的数学工具。例如，他完整地提出了不变积分 的概念，并且使用它证 明了著名的回复定理 ；另一个例子是他 为了研究周期解 的行为，引进 了首次回复 射 的概念，在后来的动力系统 理论 中也被称为 射。 用现代动力系统的术语来描述， 回复定理可以如下论述 ：设 为保测 系统，那么对于任何具有正测度 的集合 ，一定存在充分大的时间 使得 在文章中我们主要研究离散动力系统，偶尔会涉及一般群作用下的动力系统，它们的定义是类似的，我们不再重新论述。 引言 如果空间 还具有拓扑结构使得 连续，那么根据 回复定理容易证 明：对于 几 乎所有点为回复点，即对 几乎所有点 存在序列 使得 因为 任何拓扑动力系统 可以赋予测度结构使之成为保测系统，那么根据上面结果就有：任 何拓扑动力系统 中必存在 回复点！这就是著名的 回复定理。注意 回复定理 对于任何拓扑群作用的拓扑动力系统都是成立的，此时的证 明需要运用 引理。 根据 回复定理和 回复定理，回复性是动力系统 中广泛存在 的现象。在 回复属性中，最强的是不动点，也就是说这个状态永远不变 （即 ）。其次是周期 点，它表 明这个状态周期性地 出现 （即存在 使得 ）。如果一个点的回复性与周 期点类似，也就是说对于它 的任何邻域，它 回到这个邻域 的时间集合具有有界性 （对于周期 点，这个时间集合恰为形如 的集合， ），那么我们称这个点是几乎周期的。周期 点的轨道是个有限集合，而非周期的几乎周期点的轨道闭包是一个不可数集合，这个轨道闭 包构成的动力系统我们称之为极小系统，它可以具有非常丰富的动力学性质 。一个点 是回复点要求它轨道中的点不时回到这个点附近。如果对于一个点我们只要求它 附近 的点有 一定的回复性，那么就有所谓的非游荡性、链 回复性等概念。不动点、周期点、几乎周期点 （极小点）、 回复点、非游荡点、链 回复性点等都是重要 的概念，关于它们有着非常丰富的结 果，我们在本文中不侧重于研究这些点集和它们之间的关系，感兴趣的读者可以参