单叶双曲面一.PPT

* * §4.5 单叶双 曲 面 一、概念 在空间直角坐标系中，由方程 所表示的曲面，叫做单叶双曲面, 此方程叫做单叶双曲面的标准方程. 方程 与 表示的曲面也是单叶双曲面. 二、性质 1. 对称性 中心 ： 坐标原点（1个）; 主轴 ： x轴、y轴和z轴（3条）; 主平面： xOy面、yOz面和zOx面（3个）. 2. 截距和顶点 x=0, y=0 → z无解, 则z 轴上没有顶点； x=0, z=0 → y = ±b, 则y轴上有顶点: z=0, y=0 → x = ±a, 则x轴上有顶点: （0，±b ，0）（2个）； （±a，0，0）（2个）. 3.主截线 (1) : 双曲线 实轴为y轴, 虚轴为z轴; : 双曲线 实轴为x轴, 虚轴为z轴; (2) (3) : (腰椭圆）. 4.平行截线 无论h取何值，此方程组总表示在平面: 上的椭圆， 它的两半轴为： 与 此时椭圆的两轴端点 （± ，0， h） 与 （0， ± ， h） 分别在两条主截线 （双 曲线）上， 且所在平面与腰椭圆平行. 结论：单叶双曲面可以看成是由一个椭圆变动其大小和位置而产生的，在变动中这个椭圆始终保持：所在平面平行于xOy面，且两轴的端点分别沿着yOz和zOx面上的主截线（双曲线）滑动。 三、图形 根据以上讨论，可画出单叶双曲面的图形如下： 主双曲线（yoz面） 腰椭圆（xoy面） 主双曲线 （xoz面） 主双曲线 （yoz面） 主双曲线 （xoz面） 腰椭圆 （xoy面） 四、总结 单叶双曲面的图形可由一族椭圆生成，由这个无界的曲面可联想到宇宙的广袤。因此，在美国有一座天文馆，就建成单叶双曲面的形状，其设计师就是由彗星的椭圆、双曲线轨道联想到这幅探索宇宙空间的精美图画。这充分表现了设计者极高的数学素质和审美意识。 由此我们联想到圆柱面在建筑艺术上的应用：圆柱面是由与一条定圆相交且垂直于此定圆所在平面的一族直线产生的轨迹，因而既具有圆的柔软性，又具有直线的坚硬性，融刚直与柔软于一体。正是这种特有的性质，世界上众多的建筑尤其是体育馆都建成圆柱形（如上海的万体馆等），这种建筑形状所包含的审美内容是丰富的，它是团结、友谊的显现（圆的意义），又是力量、意志的象征（直线的意义），即奥林匹克精神。 抽象的几何图形，一旦纳入审美的艺术范畴，会带来特殊的美感，抽象的几何图形被美学家称为“有意味的形式”，正好表现出它有特殊意味的审美内容，因此，在观察几何图形时应重视美的联想。 作业：P165习题3,4,5. （摘自“解析几何教学中 的审美教育”，马世祥等，甘肃高师学报，2005，Vol.10 NO.2） 上海万体馆 夜景 近景 已知轨迹求方程： 1.求出 矢量式参数方程； 2.写出 坐标式参数方程； 3. 转化 为普通方程。