第三章 三角函数 第3讲.ppt

[思想方法] 1.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较. 2.利用导数方法证明不等式f(x)＞g(x)在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h(x)＞0，其中一个重要技巧就是找到函数h(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口. 3.利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型，体现了导数的工具性作用，将函数、不等式紧密结合起来，考查了学生综合解决问题的能力. 4.对于研究方程根的个数的相关问题，利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决.这类问题求解的通法是(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解. [易错防范] 实际问题中的函数定义域一般受实际问题的制约，不可盲目地确定函数的定义域；在解题时要注意单位的一致性；把实际问题转化成数学问题后，要根据数学问题中求得的结果对实际问题作出解释. 基础诊断 考点突破 课堂总结 第3讲　导数的综合应用 必威体育精装版考纲　1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；2.会利用导数解决某些简单的实际问题. 知 识 梳 理 1.生活中的优化问题 通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为_______问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点. 2.利用导数解决生活中的优化问题的基本思路 优化 3.导数在研究方程(不等式)中的应用 研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式； 反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究. 4.导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型 (1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题； (2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题； (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题. 诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解( ) (2)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点( ) (3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)( ) (4)“存在x∈(a，b)，使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a，b)，使f(x)≥a”( ) × × √ √ 答案　C 3.(2015·全国Ⅱ卷)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞) 答案　A 4.(2016·济南检测)若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________. 解析　由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可.f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)＜0，即(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2，2). 答案　(－2，2) 答案　f(a)＜f(b) 考点一　利用导数解决生活中的优化问题 【例1】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 规律方法　在求实际问题中的最大值或最小值时 (1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围. (2)要注意求得结果的实际意义，不符合实际的值应舍去. (3)如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点. 于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f(x) 极大值42 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值