第九章FIR滤波器设计.doc

9.3 相位失真 根据前面的介绍，对于频率响应，对给定频率Ω0，输出的相位，设输入的相位为零。对于给定频率Ω0的正弦信号Acos（nΩ0），其输出为|H（Ω0）|cos(nΩ0+ )，可以看到输出比输入相位滞后了，对应的采样点数是nΩ0+ =0，，因此对于由不同频率组成的信号x[n]，其通过滤波器后，各频率分量的相位延迟是不同的，因此导致相位失真。从而使信号发生了变化。 相位失真的影响。 为避免相位失真，要求对所有的频率分量应该有相同的相位延迟，一种方法使相位延迟为零，但这不实际。一种是使相位差为频率的线性函数，即，相位延迟为，即对于所有频率分量都延迟k个采样点。因此所有频率分量同时出现在输出端。因此与频率近似成线性的相位响应可以很好的减少相位失真。 如何设计具有线性相位特征而没有相位失真的滤波器呢？考虑关于原点对称的脉冲响应。例如： 注意此时要求脉冲响应为奇数项。当脉冲响应关于原点对称时，h[-M]=h[M]等，因此对此式进行Z变换，得传输函数：，由DTFT得频率响应为： 应用余弦欧拉公式：得：，因此频率响应为实数，所以它的相位只能是0或180度，因此只要在通带内为正，相位在这个范围内必为0，不会发生相位失真。但这时的脉冲响应为非因果的。通过时移来形成因果滤波器。如： 这时时移后的因果脉冲响应关于M对称。时移后的脉冲响应为时移对滤波器系数没有影响，但影响滤波器的实现。 例：考察九项滑动平均滤波器的频率响应。 9.4 逼近理想低通滤波器 滑动平均滤波器提供了粗略的低通滤波。而只有理想低通滤波器才能提高高性能的滤波特性。对于理想低通滤波器其幅度响应为： 具有截至频率为Ω1。在通带内具有单位增益，而阻带内的增益为零。因此具有最好的滤波性能。因此，我们将理想低通滤波器作为普通FIR滤波器设计的起点。对于上述理想低通滤波器其离散时间傅立叶逆变换为：，n取正负整数。通过引入sinc函数。，则，这里sinc（0）=1。所有理想低通滤波器的脉冲响应为。当Ω1=0.25pi，n=[-15，15]，时，脉冲响应为： 这个脉冲响应在两个方向上具有无限个采样点，所以不能直接转换为非递归滤波器，同时是非因果的。为了使其成为非递归滤波器，必须将脉冲响应截短，即将两端很小的响应点去掉，成为有限项。然后利用时移，使其成为因果滤波器。 时移后 截断后的脉冲响应，会对频率响应产生影响，截断后的频率响应为 因此当滤波器的特性为非理想时，要通过一些方法来定义其特性，这些特性如图 滤波器的通带定义了滤波器允许通过的频率范围。在阻带内，滤波器对信号严重衰减。参数δp定义了通带波纹，即滤波器通带内偏离单位增益的最大值。通带边缘增益定义为。参数δs定义了阻带波纹，即滤波器阻带内偏离零增益的最大值。阻带边缘增益定义为δs。过渡带宽度就是阻带和通带边缘之间的距离。或过渡带宽度=阻带边缘频率-通带边缘频率。注意：滤波器的带宽指在-3dB之间的频率范围。而不对应FIR滤波器的通带边缘频率。FIR滤波器的通带边缘频率定义为增益下降到或20*log10（）dB的频率。 例：确定通带波纹、通带边缘频率、阻带波纹、阻带边缘频率，过渡带宽度、带宽和-3dB频率。 9.5 窗函数 9.5.1 矩形窗 窗函数的作用是从理想低通滤波器的脉冲响应的无限多个点中选取有限个采样点。因此这个过程可以看作是矩形窗函数和理想低通滤波器脉冲响应的相乘的结果。 N项矩形窗为：w[n]=1，，其他处为零。 矩形窗的缺点：最大旁瓣的增益较大以及振铃现象。 9.5.2 汉宁窗 长度为N的汉宁窗定义为：，，其他处为零。 9.5.3 哈明窗 长度为N的哈明窗定义为：，，其他处为零。 9.5.4 布莱克曼窗 长度为N的布莱克曼窗定义为：，，其他处为零。 9.5.5 凯塞窗 长度为N的凯塞窗定义为：，。I0是零阶修正第一类贝塞尔函数，定义为：，通常取其前20或25项之和近似表示。 凯塞窗的形状由β参数决定。β可以根据阻带要求计算出来。对于期望的阻带衰减值AdB，只要A大于50dB，β的近似值为：。 选择凯塞窗参数β β 预计阻带衰减（dB） 实际滤波器阻带衰减（dB） 5 54 56 6 63 64 7 72 72 8 81 81 9 90 90 10 99 100 9.6 低通滤波器设计 9.6.1 设计指南 利用下表选择合适的窗函数，即选出所需的衰减，在从表中选中窗的类型。最佳选择是窗函数要尽可能满足阻带要求，如果所选择的窗函数超越了所要求的性能，需要的长度就会很长。一旦窗函数确定下来，所需函数的长度可以通过表中的公式计算得出。滤波器滚降越陡峭，所要求的过渡带宽度就越小，所需的长度也就越长。选择项数为奇数将得到对称的脉冲响应，可以消除相位失真。 FIR滤波器参数 窗类型 窗函数 项数 N* 滤波器阻带衰