第九章弯曲刚度.ppt

* * 第九章 弯曲刚度 一、弯曲变形与位移 二、小挠度微分方程及其积分 四、弯曲刚度计算 五、简单静不定梁 三、变形叠加原理 一、弯曲变形与位移 在平面弯曲的情况下，梁的轴线弯曲成平面曲线，梁的横截面变形后仍然为平面，与梁的轴线垂直。由于弯曲变形使梁的横截面发生位置改变，称为位移。梁的位移包括三部分： 横截面形心处垂直于轴线方向的位移，称为挠度； 变形后横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角； 横截面形心沿轴线方向的位移，成为轴向位移。 1、变形和挠度有关概念 2、弯曲变形的挠度曲线 在弹性范围内，梁的轴线在弯曲变形变成一条连续光滑的曲线，称为弹性曲线或挠度曲线。 挠度曲线上某一点的曲率半径与这一点横截面上的弯矩、弯曲刚度的关系： 在小变形情况下，轴向位移与挠度相比为高阶小量，通常不考虑。 如图：挠度与转角的关系 小变形情况下： 挠度与转角的关系： 挠度方程 二、小挠度微分方程及其积分 1、弧微分 函数 在区间（a,b）上 连续可导。在曲线上取一点A(x0，y0)作为基点，对于曲线上任意一点M(x，y)，规定： 曲线的正向为x增大的方向； 是x的单调增函数 的导数与微分： 为曲线上另 一点， 有： 得： 当： 是x的单调增函数 由于： 弧微分公式 2、曲率的定义 描述曲线局部弯曲程度的量 如图： 则弧段 的平均曲率： 点M处的曲率： 设 二阶可导，有： 由： 当 3、小挠度微分方程及其积分 方法一： 方法二： 挠度曲线近似微分方程。 式中的正负号与坐标取向相关。 对于等截面梁，对上式进行不定积分，得： 转角方程： 挠度方程： 4、积分常数的确定、约束条件及连续条件 在上面的转角方程和挠度方程中，积分常数由梁的约束条件和连续条件确定。 约束条件是指约束对挠度和转角的限制，也称边界条件。 常见约束条件： 在固定铰链支座和辊轴支座处，有： 在固定端处，有： 连续条件是指在梁的弹性范围内，其轴线弯曲变形为一条连续光滑曲线，因此在集中力、集中力偶以及分布载荷的间断处，两侧的挠度和转角相等。 AC段弯矩方程： BC段弯矩方程： C点的挠度和转角相等。 P214，例题8-1 根据边界条件和连续条件可求出积分常数。 例：已知梁的抗弯刚度EI，求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程和挠度曲线方程，并确定最大转角和挠度。 解： 有： 由边界条件： 转角方程： 挠度曲线方程： 最大转角为A和B处： 最大挠度发生在中间： 三、变形叠加原理 杆件变形： 其轴线为一光滑连续曲线； 位移是杆件变形累加的结果； 小变形下力的作用是独立的。 前提是小变形、线弹性。 叠加原理： 当梁上同时有多个载荷作用时，梁的总变形为各个载荷单独作用下梁的变形的代数和。 13 工程中将典型载荷作用下梁的挠度和转角表达式制成表，挠度表。多个载荷作用时，分解为各载荷单独作用状态，根据挠度表查得相应挠度和转角，再进行叠加，可得综合作用结果。 P220，例题8-3 四、弯曲刚度计算 弯曲刚度条件: 计算变形 校核刚度 确定最大载荷 五、简单静不定梁 静不定：约束数量超过方程数量。 变形协调方程：位移或变形之间的几何关系 物理方程：力与位移或变形之间的关系 平面汇交力系：两个独立方程，只能求解两个未知数 平面力偶系：一个独立方程，只能求解一个未知数 平面任意力系：三个独立方程，只能求解三个未知数 当独立方程数?未知数数量：静定问题 当独立方程数?未知数数量：静不定问题，超静定问题 物体系统平衡的特点： 平衡系统中的每个单体（构件）也是平衡的； 平衡系统中每个单体（构件）可以列出3个独立平衡方程，整个系统可以有3?n个方程。（设系统中有n个物体） 面接触约束限制2个自由度； 线和点接触限制1个自由度。 约束限制构件的自由度，构件在空间有6个自由度，平面有3个自由度。 在平面情况下： 关于静不定的次数： 静不定的次数，即多余约束的数量 独立方程数：3个 约束数（未知力个数）：3个 独立方程数：3个 约束数（未知力个数）：4个 物体系统的自由度数： 当物体系统的自由度数F0，为静不定系统，F即为物体系统的静不定的次数。P222，例题8-4 如图：已知均布载荷集度q=15N/mm，l=4m，梁为圆截面，直径d=100mm，材料的许用应力[?]=100MPa，校核该梁是否安全。 解：该梁有多余约束，为一次静不定问题，受力如图 将C处约束解除，以FC取代 力平衡方程： 变形协调条件： 梁在C处的挠度必须为零。