第四章 n维向量与线性方程组.ppt

南京邮电大学 邱中华 -*- 写成矩阵乘积: 从而 (4) 向量 组 B 可由向量组 A 表示, 则 (后者的 A, B是矩阵) 存在矩阵 C 使得 B = AC 为以后引用方便, 给它起个名子叫表示不等式. -*- (5) 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示, 则必相关.(Steinitz定理) 则 必相关 如果 可由 表示, 又 mn, 则 B 必相关. -*- (6) “短的无关, 则长的也无关”.反之… 是无关的. 也是无关的. -*- §4.3 向量组的秩 对于一个给定的向量组(可以含无穷多向量), 如何把握向量之间的线性关系( 即哪些向量可由另外一些向量线性表示?) 希望: 在一个向量组中能找到个数最少的一部分向量, 其余的向量都可由这些向量线性表示. 这样的部分组要满足什么条件？ -*- 假设向量组 A 的部分组 A0 是所找的. 首先 A0 要是线性无关的. 否则, 其中至少有一个向量可由其余的向量表示, 这说明 A0 中向量个数不是最少的; 其次 A0 中无关向量个数还要是最多的. 否则, 如果还有无关的部分组 B0 所含向量个数比 A0 多, 那么因 B0 可由 A0 表示, B0 必相关, 这就矛盾了. 反之如果 A0 满足上面两个条件, 则 A0 必可表示 A 中所有的向量. 因为把 A 中任一向量合并到 A0 中必相关, 由唯一表示定理知这个向量可由 A0 唯一表示. -*- (1) 线性无关, (2) A 中任意 r + 1 个向量(如果有的话)都线性相关. 定义1 如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足 则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组. (2) A 中任一向量都可由 A0 表示. 定义2 (1) 线性无关, 如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足 则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组. -*- 定义 向量组 A 的最大无关组所含向量的个数 r (显然是唯一的)称为向量组 A 的秩. 仍记为 r(A). 只含零向量的向量组无最大无关组, 规定其秩为0. -*- 回答: (1) 向量组的最大无关组唯一吗? (2) 如果向量组的秩为 r ,则其任一 r 个线性无关的向量都是其最大无关组吗? (3) 向量组与其任一最大无关组等价吗? (4) 向量组的任意两个最大无关组等价吗? (5) 等价向量组的秩相等吗? -*- 例1 求向量组 的一个最大无关组和该向量组的秩. 同理, 等也是最大无关组. 在求解过程中考虑: 向量组的秩与它构成矩阵的秩有何关系? 易求得 说明 A 中有一个 2 阶子式不为零. 如取前两列前两行: 那么 , 从而 线性无关. 再看 A 的任意三列 , 因为 所以任意三列都是线性相关的.根据定义 就是一个最大无关组 -*- 三秩相等定理 -*- 例2 求向量组 的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出. 接例1, 已求得一个最大无关组为 要求 用 表出, 这相当于要解方程组 解 -*- 你能将求最大无关组和把其余向量用该最大无关组表出一步完成吗? 类似 可求 用 表出. 解 -*- 例3 设向量 求向量 一个最无关组,并把其余 向量用该最大无关组表出. 矩阵的秩=3， 线性无关吗? 是最大无关组吗? -*- -*- 再深入: 则 与 同解 即 与 同解 说明: 矩阵的初等行变换不改变列之间的线性关系. 比如 (移项便知) 相关(无关) 相关(无关) 前面的做法,也可依此理论为依据(本质一样). -*- 右边的最大无关组 左边的最大无关组 -*- 为什么以前我们把矩阵与向量组以及它们的秩混用同一符号,有了三秩相等定理就能理解了. 说明: -*- §4.4 线性方程组解的结构 本节主要讨论 (2) 解集的秩是多少? (3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求? 齐次方程组 (假设有