第四章：理想流体动力学.doc

理想流体动力学 课堂提问：支持飞机升空，机翼的升力是怎么产生的？ 为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船坞等岸边建筑物附近下水？ 本章从力学的角度来研究理想流体的运动， 虽然工程技术中的实际流体并不是理想流体，工程中很多情况下流体的粘性力和其它力相比作用很小，理想流体的运动规律句有指导意义和实际意义。 本章内容： 1．欧拉运动微分方程式 2．拉格郎日积分式 3. 伯努利积分式，几何意义，物理意义 4.动量定理及动量矩定理 本章重点： 1）理想流体运动所遵循的动力学方程——欧拉运动微分方程（主要掌握微分体积法推导方程，了解各项的意义。 2）拉格朗日积分以及伯努利积分的前提，各项的量纲，几何意义，物理意义，位置水头、速度水头、测管水头，压力水头以及总水头之间的相互转换关系，要求熟练应用伯努利方程解题，绘制测管水头线以及总水头线。 3）皮托管测流速的原理，应用时应注意的问题 4）伯努利方程的应用 4）动量定理应用，动量矩方程的应用。 本章难点： 1）伯努利方程应用中流线上两点的选取，如何减少未知数的个数。 2）动量定理应用中各项符号的确定。 3）伯努利方程中三个水头之间的转换。 §４-１ 欧拉运动微分方程式 某瞬间在理想流体中取ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ的平行六面体， 由牛顿第二定理： Ｆi＝ｍａi（ｉ＝ｘ，ｙ，ｚ） （４-１） 以ｘ方向为例： １）表面力：微元体左面上压力ｐ（ｘ，ｙ，ｚ），右面压力ｐ（ｘ＋ｄｘ，ｙ，ｚ）。 由台劳级数展开，并略去高阶微量后： ｘ向表面力的合力（理想流体，无切应力）： ２）质量力：单位质量的质量力分量Ｘ，Ｙ，Ｚ，ｘ轴上的投影： ρＸｄｘｄｙｄｚ ３）微元体的质量：ρｄｘｄｙｄｚ ４）加速度，ｘ方向： 代入（４-１）式，同理得其余两式 （４-２） 矢量式 式（４-２）即为理想流体的欧拉运动微分方程式。欧拉运动方程共有三个方程式，再加上连续方程式，四个方程式，给定所提问题的边界条件和初始条件，求解四个未知函数ｖx、ｖy、ｖz和ｐ。 §４-２ 拉格朗日积分式 ————欧拉方程在非定常无旋运动条件下的积分。 假设： 1）理想不可压缩流体：ρ＝const； 2）质量力具有势函数：，，（其中Ｕ为质量力的势函数）； 3）运动是无旋的，存在速度势函数φ，满足： 。 由１）有 由２）有 由３）有 将以上关系代入欧拉方程： 上式移项，同理可得另外两式，则 方括弧内的函数不随(ｘ，ｙ，ｚ)变化，只可能是时间的函数。 （４-４） 引入速度势的另一Φ，定义： 仍不影响它与速度的关系： 所以Φ和实质上是一样的。 式（４-４）可改写成 如果质量力只有重力，取ｚ轴铅直向上，有U＝－ｇｚ，故 或 上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。 对于定常无旋运动： (通用常数) 对于理想、不可压、只有重力作用，定常，无旋运动，上式可写成： (通用常数) 因Ｕ＝－ｇｚ 通用常数：在整个流场都不变， 该方程在整个流场建立了速度和压力之间的关系。 如果用理论或实验的方法得到流场的速度分布，应用拉格朗日积分式得出流场的压力分布，再将压力分布沿固体表面积分，就可以计算出流体与固体之间的相互作用力。 课堂举讨论： 1）机翼产生升力的原因 2）两艘并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生互相吸引的“船吸现象”； 2）浅水航道的“吸底现象”。 4）为什么在江河、海洋中游泳时不能在靠近船坞等岸边建筑物附近下水？ §４-３伯努利积分式及其应用 ————理想、不可压缩流体，质量力有势，定常运动，沿流线积分。 假设： １）理想不可压缩流体，质量力有势； ２）定常运动； ３）沿流线积分。 由１），２）有 欧拉方程可写成 定常运动流线与轨迹重合，在轨迹上： ｄｘ＝ｖxdｔ ｄｙ＝ｖyｄｔ ｄｚ＝ｖzｄｔ 式４）、５）、６）两边分别乘以式１）、２）、３）。以第一式为例： 即 (７) 同理有 （８） （９） 将(７)、（８）、（９）三式相加，考虑到速度的模ｖ2＝ｖx2＋ｖy2＋ｖz2有： 在流线上有 括弧内在流线上的全微分等于零，因此沿流线是一个不变的常数，即 在重力场中Ｕ＝－ｇｚ，则 或 （沿流线成立，Ｃl称为流线常数） 这就是著