2Z变换(清华大学).ppt

第二章Z变换Z Transform Z变换定义 双边 z-变换: 单边 z-变换: z-反变换: X(z) 可以看作经过算子z由序列x[n]变换而来，z是一个连续复变量. z 是一个能表示成极坐标形式的复变量 : z = rejw Z变换和傅立叶变换之间的关系 序列x[n] 的z变换X(z) 为 : 如果 z = rejw : 序列 x[n]的傅立叶变换为 Z变换在单位圆上的求值就相当于傅立叶变换,即 r = 1. 单位圆 显然，对于r = 1，z变换变为傅立叶变换. Z变换是一个复变量的函数，因此便于用复Z平面来描述和解释。 对应于|z| = 1 是半径为1的圆，称为单位圆 单位圆上的Z变换对应于傅立叶变换。 复Z平面上的单位圆 收敛区域 对于任意序列, 对于Z变换收敛的区域成为收敛域， ROC。 Z变换收敛的标准是绝对可和： 或者 因为序列乘以 r-n ,因此即使傅立叶变换可能不存在，但是Z变换收敛。 如果某个z值, 即 z = z1, 在收敛区内, 那么在|z| = |z1|上 定义的圆上的值都在收敛域内。 因此，收敛域是以原点为中心的z平面上的一个环形。 The ROC as a Ring in the z-plane ROC 一个有限长序列的z变换，收敛区域包括z＝0和z＝∞ 外的整个z平面。如果n0时，x(n=0)，则收敛域还包括z＝∞ ；如果n0时，x(n=0)，则收敛域还包括z＝0点。 一个右边序列的z变换，收敛域是 |z|a的圆外部分 一个右边序列的z变换，收敛域是 |z|β 的圆内部分 信号类型 ROC 一些常用的z变换对 z-变换性质 Given ROC of x[n] is Rx  ROC of x1[n] is Rx1 ROC of x2[n] is Rx2 线性: ax1[n] + bx2[n] aX1(z) + bX2(z) ; ROC: Rx1 和Rx2交集 时移 : x[n-n0] ?? z-n0X(z) ; ROC: Rx 除了可能加上或者除掉在＝0或z＝infinity. 用指数序列相乘 : z0nx[n] ?? X(z/z0) ; ROC: |z0|Rx X(z)的微分 : nx[n] ?? -z{dX(z)/dz} ; ROC: Rx除了可能加上或者除掉在z＝0或z＝infinity. 复数序列的共扼 : x*[n] ?? X*(z*) ; ROC: Rx 时间倒置 : x[-n] ?? X(1/z) ; ROC: 1/Rx 序列卷积 : x1[n]*x2[n] ?? X1(z)X2(z) ; ROC: Rx1 Rx2交集 初值定理 : x[n] = 0, n0 ?? limX(z) = x[0] Z反变换 观察法 有某些熟悉的或者凭观察就能辨认出的变换对构成。 部分分式展开法 幂级数展开法 X(z) = ... + x[-2]z2 + x[-1]z + x[0] + x[1]z-1 + x[2]z-2 + ... = S x[n]z-n , 围线积分法 (应用柯西积分定理) 其中C是包围原点的逆时针闭合曲线 使用圆周积分进行Z反变换 这种形式的围线积分常用柯西留数定理来计算 其中X(z)zn-1在 z=d0 有极点而y(z)在 z=d0没有极点 : Example : X(z) = 1/(1-az-1), |z||a| 如果只需要x(n)的部分值时，围线积分特别有用。 * * Unit Circle z = ejw w 1 z-plane Im Re z-plane Im Re r2 r1 有限长度信号 无限长度信号 因果 非因果 双边 因果 非因果 双边 整个z平面 除去 z = 0 整个z平面 除去 z = infinity 整个z平面 除去 z = 0 和 z = infinity |z| r1 |z| r2 r2 |z| r1