4-1，2，3复级数30.pdf

第四章解析函数的幂级数表示 复数项级数与复函数项级数 幂级数 解析函数的泰勒展开 罗朗级数 §4.1 复级数的基本概念 一、复数项级数 1. 复数列的极限 设{cn } (n 1,2, L) 是复数列, 其中, cn an +ibn (an , bn ∈R ) (n 1,2, L), c a +ib 为一确定的复 数。若对 ∀ε 0, 总存在 N (∈N +) 使当n N 时, 有 | cn −c |ε 成立, 则称c 为复数列{cn } 当n →∞时的极限。 记为 lim cn c n→∞ 若数列{c } 不收敛, 则称{c } 发散。 n n 由于 | an −a |≤| cn −c |≤| an −a | +| bn −b | | bn −b |≤| cn −c |≤| an −a | +| bn −b | 得到: 1 1 2 L 定理 复数列{ cn } { an +ibn } ( n , , ) 收敛于 c a +ib 的充要条件是 : lim an a, lim bn b 。 n→∞ n→∞ ⎧⎪ 1 i π ⎫⎪ 例1 讨论数列 (1+ )e n 的敛散性, 若收敛, 求出极限。 ⎨ ⎬ ⎪⎩ n ⎭⎪ ⎛ 1⎞⎛ π π⎞ 解: cn ⎜1+ ⎟⎜cos +i sin ⎟ ⎝ n⎠⎝ n n ⎠ ⎛ 1⎞ π ⎛ 1⎞ π 1 cos i 1 sin ⎜ + ⎟ + +⎜ ⎟ ⎝ n⎠ n ⎝ n⎠ n ⎛ 1⎞ π ⎛ 1⎞ π 由于 lim 1+ cos 1, lim 1+ sin 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n→∞⎝ n⎠ n n→∞⎝ n⎠ n π ⎧ 1 i ⎫ 所以数列 (1+ )e n 收敛, 且极限为1。 ⎨ ⎬ ⎩ n ⎭