3.2.1导数四则运算 3.2.4反函数与复合函数的求导规则.ppt

§3.2 1- §3.2.4 函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导法则与导数公式 上页 下页 铃 结束 返回 首页 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则 上页 下页 铃 结束 返回 首页 四、基本求导法则与导数公式 定理1 如果函数u?u(x)及v?v(x)在点x具有导数? 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数? 并且 下页 [u(x)?v(x)]?=u?(x)?v?(x)? [u(x)?v(x)]?=u?(x)?v(x)+u(x)?v?(x)? 求导法则的推广 (u?v?w)?=u??v??w?? (uvw)? =u?vw+uv?w+uvw?? 特殊情况 (Cu)?=Cu?? 求导法则? 下页 例1 求导法则? 例2 解 求导法则? 例4 解 例3. 解: 求导法则? 求导法则? 用类似方法?还可求得? (tan x)?=sec2x? (sec x)?=sec x tan x ? 例5 y?cotx ? 求y?? 解 例6 y?csc x? 求y?? 解 首页 解 解 练习 定理2 如果函数x?f(y)在某区间Iy内单调、可导且f ?(y)?0? 那么它的反函数y?f ?1(x)在对应区间Ix?f(Iy)内也可导? 并且 简要证明 由于x?f(y)可导(从而连续)? 所以x?f(y)的反函数y?f ?1(x)连续? 当?x?0时? ?y?0? 所以 下页 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例2 求(arctan x)?及(arccot x)?? 解 因为y=arctan x是x=tan y的反函数? 所以 例1 求(arcsin x)?及(arccos x)?? 解 因为y=arcsin x是x=sin y的反函数? 所以 反函数的求导法则: 首页 反函数的求导法则: 例3 解 另一方面， 于是 从而可得公式 三、复合函数的求导法则 定理3 如果u?g(x)在点x可导? 函数y?f(u)在点u?g(x)可导? 则复合函数y?f[g(x)]在点x可导? 且其导数为 简要证明 则Du?0? 此时有 假定u=j(x)在x的某邻域内不等于常数? 下页 解 复合函数的求导法则: 2 1 2 sin x x y + = , 求 例2 解 例1 = -3x 2 e y , 求 dx dy . y = u 函数 2 1 2 sin x x y + = 是由 sin , 2 1 2 x x u + = 复合而成的 , 下页 因此 函数 可看作是由y?e u? u?-3x2复合而成的 ? 复合函数的求导法则: 下页 解 例3 ,求y?. 例4 解 复合函数的求导法则: 解 例5 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形? 例如? 设y?f(u)? u??(v)? v??(x)? 则 复合函数的求导法则: 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形? 例如? 设y?f(u)? u??(v)? v??(x)? 则 例6 解 例7 解 解 例8 例9 解