结构动力学-单自由度体系.ppt

第三章： 单自由度体系的自由振动 自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后， 不再受任何外力影响的振动过程。 运动方程： 扰动的表现： 3.1 无阻尼自由振动 无阻尼：c=0 自由振动：p(t)=0 运动方程： 初始条件： 3.1 无阻尼自由振动 设无阻尼自由振动解的形式为： 其中：s 为待定系数； A 为常数 系数方程： 两个虚根： 3.1 无阻尼自由振动 运动方程的通解为： 指数函数与三角函数的关系： 运动方程的解： A，B—待定常数，由初始条件确定。 3.1 无阻尼自由振动 将位移 和速度 带入初始条件： 得待定常数为： 3.1 无阻尼自由振动 体系无阻尼自由振动的解 其中 无阻尼振动是一个简谐运动（Simple harmonic motion） ωn——圆频率 3.1 无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期 自振频率：Natural frequency (of vibration) 自振周期：Natural Period (of vibration) ——结构的重要动力特性 3.1 无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期及其关系 自振圆频率： (单位：弧度/秒, rad/s) 自振周期： (单位：秒, sec) 自振频率： (单位：周/秒, 赫兹, Hz) 第3章 单自由度体系的自由振动 3.2 有阻尼自由振动 运动方程： 初始条件： 3.2 有阻尼自由振动 令u(t)=est，代入运动方程 得： 3.2 有阻尼自由振动 u(t)=est 当： 体系不发生往复的振动 当： 体系产生往复的振动 使： 成立的阻尼c称为临界阻尼 临界阻尼记为ccr： 微分方程的特征方程有两个相同的实根，方程的解为 3.2 有阻尼自由振动 3.2 有阻尼自由振动 1. 临界阻尼和阻尼比 临界阻尼：体系自由振动反应中不出现往复振动 所需的最小阻尼值。 临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。 阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值， 用ζ表示 3.2 有阻尼自由振动 （1）当ζ＜1时，称为低阻尼（Under damped）， 结构体系称为低阻尼体系 （2）当ζ＝1时，称为临界阻尼（Critically damped） （3）当ζ＞1时，称为过阻尼（Over damped）， 结构体系称为过阻尼体系。 对于钢结构： 钢筋混凝土结构： 3.2 有阻尼自由振动 低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线 3.2 有阻尼自由振动 2.低阻尼体系（Underdamped Systems） 将： 代入： 得： 低阻尼体系满足初始条件的自由振动解： 其中： ωD—阻尼体系的自振频率 3.2 有阻尼自由振动 ωD—阻尼体系的自振频率 TD—阻尼体系的自振周期 ωn和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期 (1) 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小 (2) 阻尼的存在使体系的自振周期变长， 当ζ＝1时，自振周期TD=∞。 3.2 有阻尼自由振动 现场实测：ωD 和 TD 理论计算：ωn 和 Tn 工程中结构的阻尼比ζ 在1—5%之间， 一般不超过20%，