绪论及张量基本知识.ppt

1） 基本概念 标量： 标量是能由一个实数确定的量，如时间、温度。 分量： 分量是由多个标量组成的量，如坐标x、y、z，写成xi=（i=1，2，3） 自由指标： 自由指标：在一个分量表达式中依次取1、2、3的字母下标称为自由指标（或说：在一个单项式中，只出现一次的字母下标，称为自由指标） 如， ——自由指标 注意：在一个单项式中代表自由指标的字母不能重复出现。 哑标： 在一个单项式中，同一个字母下标重复出现，则表示需将该指标依次取1，2，3，并求和，这个字标母下标就称为哑标（或说在一个单项标中，出现两次的字母下标称为哑标）。如： —哑标 —哑标 —哑标 求和约定： 在一个单项式中，同一个字母下标重复出现，则表示需将该字母下标依次取1，2，3，并求和，这个约定就称为求和约定。如： 注意：自由指标和哑标的字母用其它字母代替不会影响它的含义，如： 注意： ① 在1个单项式中，自由指标只能出现1次。 ② 根据求和约定，在任何单项式中，哑标只能出现两次，即在一个单项式中不允许出现三个相同的下标字母。如： 并不代表 ③哑标出现两次以上，这样的单项式在求和约定中是无意义的，如： 式中哑标 无意义， 是有含义的 ④ 利用求和约定和分量记法可以将许多公式写得十分简洁，如: 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x b a x b a x b a + + 2） Kronecker符号 （1）定义： （2）性质： 3） 张量定义 如果一个物理量，在进行坐标变换时满足变换规律： ，则我们称 为二阶张量。 在弹性力学中我们知道 满足： ，因此我们说应力 为二阶张量，其中 为自由指标。 矢量Ui称为一阶张量;标量称为0阶张量。 如果一个物理量在坐标变换时满足变换规律： ，我们称 为高阶张量 N阶张量有3N个分量。如：弹性模量张量 为4阶张量，共有34=81个弹性常数(实际上考虑对称性，完全各向异性材料，独立的弹性参数为21个；正交各向异性材料独立的弹性参数为9个；横观各向同性材料独立的弹性参数为5个；完全各向同性材料独立弹性参数为2个,E,μ） 4） 张量运算 张量相等：张量各分量分别相等。 张量加法：同阶张量可以相加，即将张量的各分量分别相加。如： 张量与标量相乘：即标量乘以张量各分量。如： 张量与张量相乘：任意阶的两个张量相乘指第一个张量中的每个分量乘以第二个张量中的每个分量，它们的集合是一个张量，其阶数为两个张量之和。如： 注意：张量服从分配律和结合律，但不服从交换律。即 张量缩并：在一个阶数大于2的张量中，如果有两个下标字母相同，则求和之后得到一个低二阶的张量。 张量内积：张量乘积后缩并 张量对坐标的偏导： 设张量Tij的每个分量是x1,x2,x3的函数，则张量对坐标求导是比原张量高一阶的张量，n阶张量对坐标的偏导数是n+1阶张量。 标量求偏导得到一阶张量： 一阶张量（矢量）对坐标的偏导为二阶张量：如： 注意：张量对坐标的导数仍是张量的结论只有在直角坐标系中才成立。 张量分解： 对称张量： 即张量两指标互换后值不变。 反对称张量：即张量两指标互换后张量反号。 任何张量皆可分成应力偏张量和应力球张量之和。 如： 为应力偏张量， 为应力球张量。 式中: 任何张量皆可分成对称和反对称张量两部分。 为对称张量； 为反对称张量 岩体数值计算原理与方法 张强勇 目 录 1.绪论及张量基本知识 2.弹塑性理论基本知识 3.有限元计算方法 4.节理岩体弹塑性损伤断裂有限元计算方法 5.节理岩体损伤锚固有限元计算方法 6.大型工程弹塑性损伤及加锚数值计算分析 7.大型三维弹塑性和弹塑性损伤有限元计算程序使用介绍 1.1 绪论 1）岩土工程数值模拟的主要方法 2） 数值模拟方法的应用范围和实施过程 3） 岩