微分方程5678.pdf

第六节 高阶线性微分方程 一、高阶线性微分方程的标准形式(主要二阶方程) ◆二阶线性微分方程的标准形式: 2 d y dy dx2 +P (x ) dx +Q(x )y f (x ), ′′ ( ) ′ ( ) ( ), 即 y +P x y +Q x y f x 当f (x ) 0时，称为二阶线性齐次微分方程 当f (x ) ≠0时，称为二阶线性非齐次微分方程 二、线性微分方程的解的结构 1. 二阶线性齐次微分方程解的结构: y ′′+P (x )y ′+Q(x )y 0 (1) 定理1 若y 1(x )与y 2 (x )均是方程(1)的解, 则y c y x +c y x 也是方程 的解 1 1( ) 2 2 ( ) (1) , 其中c ,c 为任意常数. 1 2 线性齐次方程 解的叠加原理 问题: y C y +C y 是不是通解? 1 1 2 2 y C1 ⋅sin x +C2 ⋅2sin x 不是y ′′+y 0的通解. ◆函数组的线性相关与线性无关的概念: 设 , , , 为定义在区间 内的 个函数, 定义 y 1 y 2 y n I n 若存在 个不全为 的常数 使得 x I都有 n 0 ki , ∀ ∈ k y +k y + +k y 1 1 2 2  n n 0, 则称函数组y  线性相关 1, y 2 , , y n , 否则称为线性无关. 例如 当x ∈(−∞, +∞)时， 函数组: ex , 2ex 线性相关, 函数组: 1, x 线性无关. ◆对于两个非零函数构成的函数组, 有: y 1 (x ) y 2 (x ) y 1 (x ), y 2 (x )线性相关⇔ 常数或 常数. y 2 (x ) y 1 (x ) y 1(x ) y 2 (x ) y 1(x ), y 2 (x )线性无关⇔ ≠常数及 ≠常数. y 2 (x ) y 1(x ) 例如: